6导数在研究函数中的应用论文要点

丽水学院2012届学生毕业论文目录1导数的定义……………………………………………………………21.1导数的定义……………………………………………………………21.2导数的几何意义………………………………………………………22导数在研究一元函数上的应用………………………………………32.1利用导数知识描绘函数图象…………………………………………32.2利用导数证明不等式…………………………………………………92.3泰勒公式在研究一元函数上的应用…………………………………103导数在研究二元函数上的应用………………………………………153.1二元函数的偏导数在几何上的应用…………………………………163.2二元函数的偏导数在函数极值方面的应用…………………………173.3泰勒公式在研究二元函数上的应用…………………………………21参考文献………………………………………………………………23致谢……………………………………………………………………25丽水学院2012届学生毕业论文1导数在研究函数中的应用理学院数学082陆民明指导师：杜鸿摘要:导数是依照实际问题为背景提出的概念。利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图象等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式与函数的关系等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。关键词:导数，一元函数，二元函数，泰勒公式，应用。引言微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。而导数作为微积分学中最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的，有着广泛的应用意义。设函数yfx在点0x的某个邻域内有定义。如果极限0000limlimxxfxxfxyxx存在则称函数fx在点0x处可导并称此极限值为函数fx在点0x处的导数记为0fx，即00000limlimxxfxxfxyfxxx。导数是对函数图象与性质的总结与拓展，它是研究函数单调性的重要工具，广泛应用在讨论函数图象的变化趋势及证明不等式等方面。导数也是初等数学与高等数学的重要衔接点。另外，导数在经济学中的应用也越来越得到人们的重视，经济学中很多现象都可以用导数来分析，归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答。众所周知，导数的思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小值问题而引入的。但导数作为微积分学中最主要的概念，却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学和几何学过程中建立的，包括在数学领域、物理研究及经济领域的广泛应用，这只是导数应用的一部分内容。然而要想应用导数解决好实际问题，关键是先将实际问题转化为数学问题，再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题，导数在各类题型中的应用已越来越广泛了，已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。丽水学院2012届学生毕业论文2导数是依照实际问题为背景提出的概念。利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性([1],[10],[11])、极值点([1],[13])、凹凸性([1],[2],[3])、函数的渐进线([4],[5])、画图象([8],[9],[15])等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式([16],[17],[18],[19])等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。1导数的定义1.1导数的定义设函数yfx在点0x的某个邻域内有定义。如果极限0000limlimxxfxxfxyxx存在则称函数fx在点0x处可导并称此极限值为函数fx在点0x处的导数记为0fx，即00000limlimxxfxxfxyfxxx。左导数：0'0000()()()()()limlimlimxxxxfxfxyfxxfxfxxxxx右导数：0'0000()()()()()limlimlimxxxxfxfxyfxxfxfxxxxx'''()()()fxAfxfxA可以证明：可导连续即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：'00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx。1.2导数的几何意义（图1）曲线()yfx在点0x处的导数'0()fx在几何上表示为：曲线()yfx在点A00(,)xy处切线的斜率。即'0()tanfx（是过A点的切线的倾斜角）（如图1）则，曲线()yfx在点A00(,)xy处切线方程为：'000()()yyfxxx。2导数在研究一元函数上的应用丽水学院2012届学生毕业论文32.1利用导数知识描绘函数图象函数图形的作法描绘图形的一般步骤如下：①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；②求出'()fx，''()fx；③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点；④确定曲线的渐近线；⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标；⑥用光滑曲线连接，画出()yfx的图象。在本节中，我们将利用函数的单调性，凹凸性和拐点，极值，渐近线等来较完善地描绘出函数的图象。函数的单调性：一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图形直观分析：若在(,)ab内，曲线上每一点的导数都大于0，即'()0fx，利用导数的几何意义知，在(,)ab内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数()yfx是单调递增的（如图2）。反之，若在(,)ab内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数()yfx是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x轴（此点的导数值为0，即'()0fx）。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1：设函数()fx在区间(,)ab内可导，则：①若(,)xab时恒有'()0fx，则()fx在(,)ab单调增加；丽水学院2012届学生毕业论文4②若(,)xab时恒有'()0fx，则()fx在(,)ab单调减少。函数的凹凸性及拐点：在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降固然很有好处，但不能完全反映它的变化规律。如图4所示的函数()yfx的图形在区间(,)ab内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状。因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的。从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义1：在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二阶导数来确定。即有判定定理。定理2：设函数()yfx在区间(,)ab上具有二阶导数，①当()0fx时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）②当()0fx时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数）通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）若曲线()yfx呈现凸状，由图5（1）直观看出：当x增大时，切线斜率随之变小，说明一阶导数函数'()fx在(,)ab上为减函数，由函数单调性判别法，必有''[()]0fx，即''()0fx。说明：若曲线为凸性，必有''()0fx。同理，若曲线为凹，必有''()0fx。从另一角度讲，该定理为二阶导数的几何意义。定义2：若函数()fx在点0xx的左右邻域上凹凸性相反，则点00(,())xfx叫做曲线的拐点（注意拐点不是0x）丽水学院2012届学生毕业论文5由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二阶导数是否异号，与该点一阶、二阶导数是否存在无关函数的极值：函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数图形时是十分重要的。定义3：设函数()fx在点0xx及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点x（0xx）恒有0()()fxfx，则0()fx为极大值；若0()()fxfx成立，则0()fx为极小值。应当注意：极值是一个局部概念，它只限于0x的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小于极小值。极值点和导数的关系如何？由图6可知：定理3：若0x是函数()fx的极值点，则'0()0fx或者'0()fx不存在。注意：①'0()0fx是点0x为极值点的必要条件，但不是充分条件。如3yx，'23yx，'0|0xy但(0,0)点不是函数极值点；②函数()fx在导数不存在的点也可能有极值。如13yx，'23113yx，'0|xy不存在，但(0,0)点不是函数极值点（如图7）将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。定理4（极值的第一充分条件）：设f在0x连续，在某邻域0(;)oUx内可导，①若00(;)xxx（0x左侧）时'()0fx，而00(;)xxx（0x右侧）'()0fx，丽水学院2012届学生毕业论文6则函数()fx在0x处取极大值0()fx②若00(;)xxx（0x左侧）时'()0fx，而00(;)xxx（0x右侧）时'()0fx，则函数()fx在0x处取极小值0()fx③若0x两侧'()fx不变号，则()fx在0x处无极值。该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。若函数的二阶导数存在，有如下的判定定理；定理5（极值的第二充分条件）：设'()0fx，''()fx存在，①若''()0fx，则0()fx为()fx的极小值；②若''()0fx，则0()fx为()fx的极小值；③若''()0fx，本方法无效，需用极值的第一充分条件这个定理来进一步判定。因为''()0fx，则曲线在0x点的左右两侧呈凹状，因此0()fx为极小值；反之，若''()0fx，则曲线在0x点的左右两侧呈凸状，因此0()fx为极大值。为有助于函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。定义4：若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。水平渐近线若曲线()yfx的定义域是无限区间，且有：lim()xfxb，或lim()xfxb，则直线yb为曲线()yfx的水平渐近线。垂直渐近线若曲线()yfx有：lim()xcfx，或lim()xcfx，则直线xc为曲线()yfx的垂直渐近线。斜渐近线若lim[()()]0xfxaxb成立，则yaxb是曲线的一条斜渐近线。下面介绍求,ab的公式。由lim[()()]0xfxaxb有：丽水学院2012届学生毕业论文7()lim[]0xfxbxaxx所以()lim[]0xfxbaxx即()limxfxax将()limxfxax求出并代入lim[()()]0xfxaxb即可确定lim[()]xbfxax