第7章 多目标优化和离散变量优化概述

第七章多目标优化和离散变量优化概述7.1多目标优化方法7.1.1多目标优化设计的数学模型例1：车床齿轮变速箱的设计要求：使材料消耗减少，成本降低使变速箱结构紧凑使变速箱运转噪声小T321RX)]X(f),X(f),X(fmin[)X(FminVn..tsm~1u0)X(gup~1v0)X(hv)X(f1)X(f2)X(f3例2：动压轴承的工作能力和寿命最优设计。工作能力温升minmax→齿轮加工侧隙尽可能小→各齿轮体积总和尽可能小→各传动轴中心距总和尽可能小→足够的供油量→润滑油流量→油膜温升说明：(1)当时，X=[1，1]T，是绝对最优解；其余点是劣解。(2)当时，X∈[1，2]中任何点都是非劣解；7.1.2多目标优化问题解的特性1.非劣解TRXXfXfXFVn)](),([min)(min21}20|{xxDxxXf2)(21xXf)(2是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时，找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。2.例aa’12b}10|{xxDxxXf2)(21xXf)(2}20|{xxD其所对应的函数值令两个分目标在全区域都是最小值全区域中都能找到全部分目标函数值都比它小的点任何一个方案都不能说很优7.1.3线性加权法TlDXXfXfXfXFV)](,),(),(min[)(min21(2)方法：})X(f{min)X(fmint1jjjDXDX(1)基本思想：将多目标函数组成一综合目标函数权因子(3)说明：权因子表明了各分目标的相对重要程度权因子的选择方法：(i)容限值法：，其中目的：是各分目标趋于数量级上的一致。(ii)分目标函数值最优化法：目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。2ii)]X(f[1*f/1jj)X(fmin*fjDXj2)X(fiii7.1.5功效系数法——几何平均法(2)方法：(1)适用条件：各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大值，有的则要求有一个合适的值。(3)功效函数的种类：fi越大，ci越大；fi越小,ci越小。适用于要求目标函数越大越好fi越小，ci越大；fi越大,ci越小。适用于要求目标函数越小越好当fi取的值靠近预先确定的适当值时，ci就越大；否则ci越小。)(iiifFc引入功效函数对函数取得的值进行量的评价构成评价函数mmcccc211c方案最满意0c方案不能接受c越大越好7.1.5功效系数法——几何平均法(4)功效系数的确定方法：f小f大ficifificicif小f大f大f小f适1f适2直线法111功效函数的种类：fi越大，ci越大；fi越小,ci越小。适用于要求目标函数越大越好fi越小，ci越大；fi越大,ci越小。适用于要求目标函数越小越好当fi取的值靠近预先确定的适当值时，ci就越大；否则ci越小。7.1.5功效系数法——几何平均法(4)功效系数的确定方法：例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△ψ=60°，有较大的急回性能，且机构传力性能最好。分析：摇杆摆角△ψ=60°较大的急回性能传力性能最好→最大压力角尽可能小→极位夹角尽可能大C1B1l1l2l3l4DAγ1γ2C2B2)X(f1)X(f2)X(f37.1.5功效系数法——几何平均法(4)功效系数的确定方法：例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△ψ=60°，有较大的急回性能，且机构传力性能最好。分析：摇杆摆角△ψ=60°较大的急回性能传力性能最好→最大压力角尽可能小→极位夹角尽可能大)X(f1)X(f2)X(f3ABCDl1l2l3l4ABCD1abc7.1.5功效系数法——几何平均法(4)功效系数的确定方法：例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△ψ=60°，有较大的急回性能，且机构传力性能最好。目标函数：摇杆摆角△ψ=60°较大的急回性能传力性能最好→最大压力角尽可能小→极位夹角尽可能大)X(f1)X(f2)X(f3bc2)1a(cbarccosbc2)1a(cbarccos)X(f2222221)1a(c2bc)1a(arccos)1a(c2bc)1a(arccos)X(f2222222)X(f3ab2)1c(baarccos22222ab2)1c(baarccos222222bac1当222bac1当60maxmin7.1.5功效系数法——几何平均法(4)功效系数的确定方法：取评价函数:f1(X)为摆角，希望越接近60°越好f2(X)为极位夹角，希望越大越好，取值范围定为17°~0f3(X)为最大压力角，希望越小越好，取值范围定为0~55°bc2)1a(cbarccosbc2)1a(cbarccos)X(f2222221)1a(c2bc)1a(arccos)1a(c2bc)1a(arccos)X(f2222222)X(f3ab2)1c(baarccos22222ab2)1c(baarccos222222bac1当222bac1当60maxmin7.1.5功效系数法——几何平均法(4)功效系数的确定方法：取评价函数:f1(X)为摆角，希望越接近60°越好f2(X)为极位夹角，希望越大越好，取值范围定为17°~0f3(X)为最大压力角，希望越小越好，取值范围定为0~55°bc2)1a(cbarccosbc2)1a(cbarccos)X(f2222221)1a(c2bc)1a(arccos)1a(c2bc)1a(arccos)X(f222222260maxf3c10°55°1f2c20°17°1c3159°61°60°f320)X(f11c2c3c14°0.82cba14)X(f260)X(f320°0.6464.0c182.0c21c33321cccc81.0182.064.037.1.5功效系数法——几何平均法(6)优点：可直接按所要求的性能指标来评价函数，非常直观。只要有一个性能指标不能接受时，则相应的功效系数为0，从而使评价函数c也为0。可以处理目标函数值既不希望太大，又不希望太小，而希望取某一适当值的情况。(7)缺点：事先要求明确目标函数的取值范围。对某些问题，若难以确定取值范围，此法就不适用。(5)工作过程取设计方案（迭代计算点）计算分目标函数值计算分功效系数计算综合功效系数7.1.6乘除法)()()()(min11XfXfXfXfmrr(2)方法：(1)适用条件：多目标混合优化问题。(3)说明：要求各分目标在可行域上均取正值。各分目标，尤其是求最大值的函数中不能有为0的。)('minXF)(''maxXFDXV-)](,),([)('1XfXfXFr)](,),([)(''1XfXfXFmr7.1.7主要目标法TlDXXfXfXfXFV)](,),(),(min[)(min21),1,1,,2,1(})(|{maxmin)(DXlkkifXffXDiiik(1)基本思想：抓住主要目标，兼顾其它要求。(2)方法：从多目标中选择一个目标作为主要目标其它目标满足一定要求，转化为约束条件。)(min)(XfkDXkfk(X)最重要7.2离散变量问题的优化方法7.2.1离散变量优化问题的基本概念在工程优化问题中，经常会遇到非连续变量的一些参数。它们是整数变量或离散变量。离散变量指在规定的变量界限内，只能从有限个离散值或整数值中取值的一种变量。有等间隔的离散变量和非均匀间隔的离散变量。X*周围的整型点群均不在可行域内7.2.2离散变量优化问题的凑整解法(1)特点：按连续变量法求X*→圆整法求整型或离散量的优化解。(2)方法：实型最优点X*→[X*](X*的整数部分)和[X*]+1→不同组合X*周围的整型点群离X*较远处整型点为优化点[x1*][x1*]+1[x2*][x2*]+11、方法：以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到满足精度为止。2、特点：此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目成指数幂增加，故很少使用。7.2.3离散变量优化问题的网格解法Theend!