2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(理)试题(解析版)

第1页共18页2019届安徽省江淮十校高三第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据复数除法法则化简即可.【详解】由知:，，故选.【点睛】本题考查复数除法法则，考查基本求解能力，属基础题.2．已知命题，，如果命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先解不等式，，再根据命题是命题的充分不必要条件即得。【详解】记，对于命题，即为，由是的充分不必要条件知：是的真子集，，故选.【点睛】本题主要考察一元二次不等式的解法，充分不必要条件的概念，属于基础题。3．如图所示，程序框图的输出结果是（）第2页共18页A．B．C．D．【答案】C【解析】读懂流程图，其功能是求四项的和，计算求值即可.【详解】计算结果是：，故选.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.4．已知数列满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对式子中的n赋值，依次得到，，…，，进行累加得到和，进而得到的最小值。【详解】由知：，，…，，相加得：，，又，且，故选.【点睛】第3页共18页本题考查由数列的递推关系得到数列的通项公式，赋值法，累加法，属于基础题。5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是（）A．4B．C．D．【答案】A【解析】根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积，再根据锥体体积公式求结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为，高为，则斜二测中等腰梯形的腰为，而积，由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为，面积，，故四棱锥的体积，故选.（也可用结论直接得出：，，）【点睛】本题考查三视图、斜二测画法以及四棱锥体积，考查基本分析求解能力，属中档题.6．已知，，，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用幂函数和指数的单调性判断大小。【详解】，，，，即，，故，选.【点睛】熟练掌握指数函数、幂函数的单调性是解题的关键．第4页共18页7．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是两人随意猜一个数字。其中满足条件的满足|a-b|≤1的情形包括19种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有7种可能，故基本事件是种，“心有灵犀”的情况包括：①，即，有7种可能；②，若甲说的是1和7时，“心有灵犀”的情况各有1种，若甲说的数字是2，3，4，5，6时，各有2种，共有种，故他们“心有灵犀”概率为，故选.【点睛】本题是古典概型问题，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形8．已知函数，那么下列说法正确的是（）A．函数在上是增函数，且最小正周期为B．函数在上是减函数，且最小正周期为C．函数在上是增函数，且最小正周期为D．函数在上是减函数，且最小正周期为【答案】D【解析】利用二倍角公式和切化弦公式将函数f（x）化为正弦型函数，再判断f（x）的最小正周期和单调性。【详解】，且，即定义域为，由此可知的最小正周第5页共18页期是，且在上是增函数，在是减函数，故选.【点睛】考察了三角函数的化简，周期性，单调性。9．若实数，满足，且恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数分式的几何意义求出最大值即可得到结论。【详解】作出不等式组对应的可行域如图所示的，且，，，则对于可行域内每一点，都有，，即为恒成立，转化为的最大值.，又即为点和点连线的斜率，由图可知：，即，，，故选.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，注意要数形结合．10．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利第6页共18页用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围．【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，，故，对于函数，有：，，故，又，故.故选.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设中点为，则利用向量的加法得到，而，，以此求出。然后利用余弦定理和不等式确定C最大时b值，利用勾股定理确定直角三角形后得出面积。【详解】设中点为，则，，即，由知角为锐角，故，当且仅当，即时最小，又在递减，故最大.此时，恰有第7页共18页，即为直角三角形，，故选.【点睛】本题考查了向量的加法减法运算，余弦定理，不等式，勾股定理，比较综合。12．已知函数，是的导函数，若存在有唯一的零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令由参数分离可得令求出导数和单调区间，可得极大值，由图象可得时，存在唯一的正零点。【详解】.显然，令得：，令，，知：当时，，为减函数；当时，，为增函数；当时，，为增函数；当时，，为减函数，作出的大致图象如图所示，则当时，存在唯一的正零点.故选【点睛】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用数形结合思想方法，属于中档题．二、填空题13．展开式的常数项为________.【答案】第8页共18页【解析】利用二项式定理把展开，可得二项式的展开式的常数项。【详解】，故展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．已知函数，则不等式的解集是________.【答案】【解析】我们结合分段函数分段处理的原则，则不等式，也要分为与和两种情况进行讨论，然后给出两种情况中解集的并集，即可得到答案．【详解】：或，即或或，即解集为.【点睛】本题考查的知识点是分段函数，一元二次不等式的解法，一元一次不等式的解法，而根据分段函数分段处理的原则，对不等式，分类讨论是解答本题的关键．15．已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.【答案】【解析】先根据直线方程与椭圆方程解得A横坐标，再根据椭圆定义化简求值.【详解】因为离心率为，所以,设直线的方程代入椭圆方程：第9页共18页得：，又∵点在第一象限，故，所以【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义，考查基本分析转化求解能力，属中档题.16．已知，数列满足：对任意，，且，，则使得成立的最小正整数为________.【答案】298【解析】先求出确定是以3为首项，1为公差的等差数列，求出从而最后解不等式得出的最小值。【详解】，由知：，又，.是以3为首项，1为公差的等差数列，，又，，从而，，令得，又，故的最小值为298.【点睛】本题考察了三角函数的求导，等差数列的定义，同角三角关系式，以及根式不等式的求解。三、解答题17．在中，，.（1）设，求的值域和单调增区间；（2）若对任意实数，恒有，求面积的最大值.第10页共18页【答案】(1);(2).【解析】试题分析：(1)根据数量积公式可求得的解析式,并化简可得.根据可得,从而可求得的值.(2)令,,所以即,因为的任意性,所以,即.试题解析：(1)因为，所以，又，所以.(2)因为，所以，因为，，所以，所以的面积，所以面积的最大值为.【考点】1向量的数量积;2三角函数化简.18．三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面.（1）证明：是的中点；（2）设，四边形为正方形，四边形为矩形，且异面直线与所成的角为30°，求两面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为.第11页共18页【解析】（1）取的中点，利用中位线得出利用线面平行的判定，得出平面，利用面面平行的判定得出平面平面进而得出而为的中点，所以为的中点。（2）建立直角坐标系，设，，利用异面直线与所成的角为30°,求出进而求出二面角的余弦值。【详解】（1）证明：取的中点，连、，因为为中点，所以.平面，平面，平面.又由已知平面，且，所以平面平面.又平面，所平面.而平面，且平面平面，所以，而为的中点，所以为的中点.（2）由题设知：、、两两垂直，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，，，，所以，.因为异面直线与所成的角为30°，所以，解得：，于是.设平面的法向量为，因为，所以，取，则，所以.又是平面的一个法向量，所以，即二面角的余弦值为.第12页共18页【点睛】本题考查线面平行，面面平行，异面直线所成的角，面面角，考查向量知识的运用，属于中档题．19．为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中体重在的有5人.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）从该校报考飞行员的体重在学生中任选3人，设表示体重超过70的学生人数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)40;(2)见解析.【解析】（Ⅰ）设图中从左到右的前3个小组的频率分别为,,，利用频率之和为1求出，由此能求出该校报考飞行员的总人数。（2）确定这40人中体重在区间的学生人数，体重超过70的人数，利用超几何分布求出分布列和数学期望。【详解】（1）设该校报考飞行员的人数为,前三个小组的频率分别为,,,则，解得：，即第1组的频率为.第13页共18页又，故即该校报考飞行员的总人数是40人.（2）由（1）知：这40人中体重在区间的学生有人，体重超过70的有人现从这10人中任选3人，则，，，∴随机变量的分布列为X0123P.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．20．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.【答案】(1)2;(2)有最小值4，此时.【解析】（1）先求出以点为切点的抛物线的切线方程，得出，利用面积求出点的纵坐标，然后求出。（2）先分别写出直线PA，PB方程，利用都过点P写出直线，代入抛物线方程利用弦长公式求出，及点到直线的距离，写出表达式及最值。【详解】（1）设，，，则，抛物线方程写成，，则第14页共18页以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，，，故，∴，，从而.（2）由（1）知，即：，同理，由直线，都过点，即，则点，的坐标都满足方程，即直线的方程为：，又由直线过点，∴，联立得，，点到直线的距离，，当且仅当时，有最小值4，此时.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数，.（1）对任意的，成立，求实数的取值范围；（2）若，证明：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）解法一：构造函数，求出及，然后分类讨论。第15页共18页解法二：当时，恒成立；当时，通过分离得到，令，转化为求在的最小值。（2）由分析法要证，即证：继而由（1）的解法二知：在时恒有，得证.【详解】(1)解法一：令，，①当时，对于任意的，，在为增函数，，在为增函数，，即，恒成立，满足.②当时，令，得则当时，为减函数，此时，故函数为减函数，，即当时，有，矛盾.综上，实数的取值范围是：.解法二：当时，恒成立；当时，即为，转化为求在的最小值，，令，，由知：在为增函数，故在为增函数，即，函数在为增函数，故没有最小值.又由诺必达法则知：，故.