二倍角公式复习--题型分类

高一数学教案必修4三角恒等变换（第7课时）郭锐徐州市第一中学数学组第1页（共6页）三角恒等变形补充二倍角降次升次知识回顾：二倍角公式：sin22sincos，)(2S22sincos2cos，)(2C2tan1tan22tan，)(2T1cos22cos2，2sin212cos2()C⑴二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．⑵二倍角公式不局限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的奎屯王新敞新疆⑶二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．⑷公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T成立的条件是：公式)(2T成立的条件是ZkkkR,4,2,．其他R奎屯王新敞新疆⑸熟悉“倍角”与“二次”的关系（降次——扩角，升次——缩角）⑹特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：221cos21cos2cos,sin22这两个形式今后常用奎屯王新敞新疆方法、技巧篇化简：三角函数式的化简是对给定的三角函数式，利用诱导公式、三角函数的基本公式、同角三角函数关系等进行适当的等价变换，化为较为简单的形式．它是三角恒等变换里最重要的应用之一，也是高考常见题型．【例1】cos20cos40cos60cos80．分析：解的过程中反复使用二倍角公式1sincossin22，要注意凡是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题，可采用类似方法解之．解：原式1sin20cos20cos40cos80cos20cos40cos8022sin20sin40cos40cos804sin20高一数学教案必修4三角恒等变换（第7课时）郭锐徐州市第一中学数学组第2页（共6页）sin80cos80sin16018sin2016sin2016．【例2】若322，化简：1111cos22222．分析：根据本题的结构特点，可重复使用公式21cos2cos2，达到去根号的目的，这是解决此类问题的常规思路．解：332,242原式2111cos21111coscos222222221coscoscos222【例3】化简：1sin1sin,(0,)．分析：本题关键在于使被开方式变为完全平方式，以便脱掉根号，应自然联系到“1”的代换问题，由于原式为算术平方根，因此在去根号时，应注意角的范围对三角函数值符号的影响．解：原式22sincos2sincos222222sincos2sincos2222222(sincos)22222(sincos)22|sincos||sincos|2222(0,),(0,)22①当(0,]24时，cossin22，原式2sin2．②当(,)242时，cossin22，原式2cos2．求值：解决这类问题的一般规律是恰当的应用诱导公式、三角函数公式合理的进行角的变换，并利用和角、差角、二倍角公式使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题．【例4】(tan103)sin40．高一数学教案必修4三角恒等变换（第7课时）郭锐徐州市第一中学数学组第3页（共6页）解析：首先采用“切化弦”，然后逆用差角公式与倍角公式化向同角（特殊角）．原式sin103cos10sin40cos102(sin10cos60cos10sin60)sin40cos102sin50sin402sin40cos40sin801cos10cos10cos10条件求值：解决这类问题的一般规律是将所给的三角函数式（条件）根据问题的需要进行变形，使其转为为所求函数式需要的条件，也可将所求的三角函数式经过适当的变形后再利用条件．【例5】若1sin()63，则2cos(2)3．解析：角的拆分——如何将要求的角用已知角表示22()(2)63．227cos(2)cos[2()]cos[2()]2sin()136669．【例6】已知11tan(),tan()2223，求tan()的值．解析：拆角变换仍然是本题的核心，观察发现()()222，这是本题的突破口，由此推得tan()的值．tantan[()()]222tan()tan()12271tan()tan()2222tan72tan()tan(2)2241tan2【练习】已知5sin()413x，04x，求cos2cos()4xx的值．解析：5sin()413x，04x，12cos()413xsin(2)2sin()cos()cos2242442cos()413cos()sin()sin()444xxxxxxxx高一数学教案必修4三角恒等变换（第7课时）郭锐徐州市第一中学数学组第4页（共6页）【例7】已知1sin()sin()446，且(,)2，求sin4的值．解析：拆角变换仍然是本题的核心，观察发现()()442，这是本题的突破口，由此推得cos2，进而求得sin2，再利用二倍角公式求得sin4的值．1sin()sin()446，12sin()cos()443，1sin(2)23，即1cos23．又(,)2(,2)2，222sin21cos2342sin42sin2cos29恒等式证明：通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，证明的基本思路是化繁为简，左右归一或变更论证．【例8】求证：2cos1sin214tan2tan2．解析：观察被证等式，左边角为与2，右边为2，等式左边为余弦．正切且为分式，于是应从切化弦入手，利用倍角公式化2为，再化为2．左边2222coscoscossincossin2222sincossincos22222cos11sincossin22cos24sin右边所以，原等式成立．【练习】已知sinsin(2)m，且,2kkZ，,,12kkZm，求证：1tan()tan1mm．解析：sinsin(2)m，sin[()]sin[()]msin()coscos()sinsin()coscos()sinmm高一数学教案必修4三角恒等变换（第7课时）郭锐徐州市第一中学数学组第5页（共6页）(1)sin()cos(1)cos()sinmm,2kkZ，,,12kkZm得cos0,cos()0,10m两边同除(1)coscos()m得1tan()tan1mm方法梳理：常用方法为化弦法、化切法、拆项拆角法、常数代换法等等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙的简捷方法函数的性质及最值问题：一般是先利用和差倍半公式，对三角函数式通过恰当的三角变换化为单一三角函数的形式，从而研究等价转化后的函数的性质．【例9】求函数44sin23sincoscosyxxxx的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0,]上的单调的增区间．解析：44sin23sincoscosyxxxx2222(sincos)(sincos)3sin2xxxxx313sin2cos22(sin2cos2)2sin(2)226xxxxx故函数的最小正周期为T；当且仅当32262xk，即5,6xkkZ，函数有最小值为2；函数在[0,]上的单调增区间为[0,]3和5[,]6．补充习题一、选择题1．(2011福建厦门模拟)已知tanα＝－43，则tanπ4－α的值为()．[来源:wA．－7B．7C．－17D．172．(2011北京东城模拟)已知sinθ＝45，sinθ－cosθ＞1，则sin2θ＝()．A．－2425B．－1225C．－45D．24253.已知为第二象限角,33cossin,则2cos（）A．35B．95-C．95D．35-高一数学教案必修4三角恒等变换（第7课时）郭锐徐州市第一中学数学组第6页（共6页）4.若sinθ－cosθ=－51,且πθ2π,则cos2θ等于（）A.257B.－257C.±257D.－25125．cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于（）A.26B.23C.45D.1+436．(2010年大同模拟)函数f(x)＝sin2(x＋π4)－sin2(x－π4)是()A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数7.若1sin()34,则cos(2)3（）A．78B．14C．14D．78二、填空题[来源:]1.已知π2απ，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝________．－2232．设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sinα2cosα2，则cosα2＝________.－55三、解答题18．设函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx－1(x∈R)(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈0，π2，求函数f(x)的最大值与最小值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx－1＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴－1≤2sin2x＋π6≤2，∴当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)min＝－1；当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)max＝2.[来源:]