淮北市新思维教育--数学组--一元一次不等式知识点及方法

第1页共7页数学教研组一元一次不等式知识点及方法1、不等式的定义：一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。①32；②21x；③21x；④svt；⑤283mx；⑥124xx；⑦38x；⑧5223xx；⑨240x；⑩230x。解答：⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：“正数(＞0)”，“负数（＜0）”，“非正数（≤0）”，“非负数（≥0）”，“超过(＞0)”，“不足（＜0）”，“至少（≥0）”，“至多（≤0）”，“不大于（≤0）”，“不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a－b＞0，则a大于b；②若a－b＜0，则a小于b；③若a－b≥0，则a不小于b；④若a－b≤0，则a不大于b；⑤若ab＞0或0ab，则a、b同号；⑥若ab＜0或0ab，则a、b异号。⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。例：规定一种新的运算：1ababab，比如：2323231，请你比较：3443，3443。（填不等号）练习：1、用不等式表示：⑴a是正数：；⑵x的平方是非负数：；⑶a不大于b：；⑷x的3倍与－2的差是负数：；⑸长方形的长为xcm，宽为10cm，其面积不小于200cm2：。2、试判断237aa与32a的大小。。3、如果0ab，0b，则,,,abab的从打到小的排序是：。2、不等式的基本性质：为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。等式的基本性质不等式的基本性质一般形式两边同时加上（或减去）同一个代数式所得结果仍是等式。性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。若ab，则acbc两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式。性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。若ab，0c则acbc性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。若ab，0c则acbc第2页共7页比如：不等式bax的解集是abx，一定会有0a。练习：⑴用最确切的不等号填空：①若3＜x，则x3；②若-2＜x，则0x+2；③若－2a≥8，则a4；④若x＞y，则m2xm2y。⑵关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m的取值范围是。⑶如果0nm，那么下列结论中错误的是（）A．99nmB.nmC.mn11D.1nm3、不等式的解和不等式的解集的定义：⑴能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。⑵一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。注意：不等式的解集，包含两方面的含义：⑴未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立。⑵未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立。⑶求不等式的解集的过程叫做解不等式。⑷不等式的解集可在数轴上直观表示。注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律：大于向右画，小于向左画，有等号(≤、≥)画实心点，无等号(＜、＞)画空心圈。例如：不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置画实心圆点，表示4在这个解集内。例1：求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）关于不等式22xa的解集如图所示，a的值是（）A、0B、2C、－2D、－4例2：不等式53x＜x3的正整数解有()A.1个B.2个C.3个D.4个练习：⑴解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。①11x；②032x⑵填空题：①大于0且小于π的整数是；②34x，则x的最小整数是。⑶不等式3x的解集在数轴上表示为（）。A.B．C．D．4、一元一次不等式的定义和解法：⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．⑵解一元一次不等式的一般步骤：例：131321xx解不等式：解：去分母，得：去括号，得：3210321032103210第3页共7页移项，得：合并同类项，得：系数化为1，得：⑶根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：（这个知识点我们招工不会考请大家放心哦！）①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集；⑤找出符合题意的值；⑥作答。练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。①41233523xx；②3252132xxx⑵某商品原来的价格为6元/件，涨价x%后仍不高于9元/件，求x的最大值。（可以不做）5、一元一次不等式与一次函数⑴利用函数图象求解不等式，通过直接观察图象，得到不等式的解集，并用解不等式方法加以验证；⑵借助于函数关系建立不等式，即先建立函数模型，再建立不等式模型。⑶解一元一次不等式与解一元一次方程的区别①从表达含义来看：一元一次不等式表示的是不等关系，一元一次方程表示的是相等关系。②从解法来看：解法的5个步骤相同，但是“去分母”“系数化为1”时，如果不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变。③从解的情况来看：不等式有无数个解，而一元一次方程只有唯一解。⑷一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用令一次函数y=kx+b(k≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式例：一次函数312yx中，x为何值时，⑴0y，⑵0y，⑶0y。练习：⑴已知函数3211xy，132xy，求当x为何值时，21yy，21yy，21yy。6、一元一次不等式组：⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。⑵一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。⑶一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。可以利用数轴来找。一元一次不等式组解集图示语言表达第4页共7页bxax（ba）bxab同大取大bxax（ba）axab同小取小bxax（ba）bxaab大小小大中间取bxax（ba）无解ab大大小小无解答例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．23112.2xxx，①≥②例2：求不等式组中字母的取值已知不等式组3210xxa，≥无解，则a的取值范围是记住：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了！练习：1、解下列不等式组（1）12322xxx（2）253(2)123xxxx二二、、常常见见题题型型1、解不等式并在数轴上表示解集例1：解不等式611012xx并把它的解集在数轴上表示出来。2、求与不等式有关的特殊值例2：求不等式)1(2)4(35xx的非负整数解第5页共7页例3：已知关于x的方程mxmx2123的解是非负数，求m的取值范围。3、函数的大小比较例4：已知21xy，522xy，当x取何值时，y1y2？4、求范围例5、点A（m－4，1－2m）在第三象限，则m的取值范围是（）A．21mB．4mC．421mD．4m5、解不等式组例6：解不等式组）　　（）　　（232)6542(2122569xxxx6、解连不等式例7：解不等式3312x≤57、方程组与不等式组综合第6页共7页例8：已知关于x、y的方程组xyayx3223的解满足x1，y1，求整数a的值。一元一次不等式(组)课堂同步练习题一.填空题1、关于x的方程xkx21的解为正实数，则k的取值范围是。2、如果不等式组2223xaxb≥的解集是01x≤，那么ab的值为．3、关于x的不等式组12xmxm的解集是1x，则m=．4、若不等式组220xabx的解集是11x，则2009()ab．5、不等式组221xx≤的整数解有。6、如果一元一次不等式组3xxa的解集为3x．则a的取值范围是。7、若01x，则21xxx，，的大小关系是。8、若不等式组0,122xaxx≥有解，则a的取值范围是。9、如果关于x的不等式(a+1)xa+1的解集为x1，那么a的取值范围是．10、方程432xx的解是正数，则的取值范围是.11、求不等式14+2y≤-2y+8所有正整数解的和是．12、(1)若-1ba0,比较a+b,a-b,a+1,a-1的大小关系为。(2)若0ab1，且a+b=1,比较21,,,22baba的大小关系为。第7页共7页13、当方程1)(5332kxkx的值是非负数时，k取何值范围为。14、若的值的值不小于代数式4323251xx，则x的取值范围为。15、若不等式mxx032无解，则m的取值范围为。16、若不等式bxax12的解集为-1x2，则a=,b=。