第十四章 数系的扩充与复数的引入

高考数学(浙江专用)第十四章数系的扩充与复数的引入考点复数的概念及运算1.(2018浙江,4,4分)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 ()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i21iA组自主命题·浙江卷题组五年高考答案B本小题考查复数的有关概念和运算.∵ = =1+i,∴ 的共轭复数为1-i.思路分析(1)利用复数的运算法则把 化为a+bi(a,b∈R)的形式;(2)由共轭复数的定义得出结论.21i2(1i)(1i)(1i)21i21i2.(2014浙江,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得 解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.220,1,abab评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.3.(2014浙江文,11,4分)已知i是虚数单位,计算 =.21i(1i)答案- - i1212解析 = = = =- - i.21i(1i)1i2i(1i)(i)(2i)(i)1i212124.(2017浙江,12,6分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.答案5;2解析本题考查复数的四则运算,复数相等的充要条件,复数模的运算,解二元二次方程组,考查运算求解能力.解法一:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,b∈R,∴ ⇒ ⇒ ∴a2+b2=2a2-3=5,ab=2.解法二:由解法一知ab=2,又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,∴a2+b2=5.223,24abab2243,2aaab24,2.aab5.(2016浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i为虚数单位.若复数z满足(z+i)2=2i,求复数z.解析设复数z=a+bi,a,b∈R,由题意得a2-(b+1)2+2a(b+1)i=2i,∴ 解得 或 ∴z=1或z=-1-2i.22(1)0,2(1)2,abab1,0ab1,2.ab评析本题考查复数的运算,正确将(z+i)2=2i变形是求解的关键.6.(2015浙江自选,“复数与导数”模块,03(1),5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,复数z=1+ai满足z2+z=1+bi,求a2+b2的值.解析由题意得(2-a2)+3ai=1+bi,解得a2=1,b=3a,故a2+b2=10.考点复数的概念及运算1.(2018课标全国Ⅱ理,1,5分) = ()A.- - iB.- + iC.- - iD.- + i12i12i4535453535453545B组统一命题、省(区、市)卷题组答案D本题主要考查复数的四则运算. = = =- + i,故选D.12i12i2(12i)(12i)(12i)34i535452.(2018课标全国Ⅰ文,2,5分)设z= +2i,则|z|= ()A.0B. C.1D. 答案C∵z= +2i= +2i= +2i=i,∴|z|=|i|=1,故选C.1i1i1221i1i2(1i)(1i)(1i)12i123.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11i答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.∵ = = + i,∴其共轭复数为 - i,又 - i在复平面内对应的点 在第四象限,故选D.11i1i(1i)(1i)12121212121211,224.(2018课标全国Ⅲ理,2,5分)(1+i)(2-i)= ()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D本题考查复数的运算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.5.(2017课标全国Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.6.(2017课标全国Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)= ()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答案B本题考查复数的基本运算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.7.(2017北京文,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)答案B本题考查复数的运算.∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,∴ ∴a-1.故选B.10,10,aa8.(2017课标全国Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足 ∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1= ;p4:若复数z∈R,则 ∈R.其中的真命题为 ()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p41z2zz答案B本题考查复数与共轭复数的概念、复数的运算以及命题真假的判断,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.解法一(特值法):取z=i,则z2=-1∈R,但z∉R,故命题p2不正确;取z1=i,z2=2i,则 =-2i,z1z2=-2∈R,但z1≠ ,故命题p3不正确,结合选项可知选B.解法二(直接法):对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由 = = ∈R,得b=0,则z∈R成立,故命题p1正确;对于命题p2,设z=a+bi(a,b∈R),由z2=(a2-b2)+2abi∈R,得ab=0,则a=0或b=0,复数z可能为实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1= ,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R,得b=0,所以 =a∈R成立,故命题p4正确.故选B.2z2z1z1iab22iabab2zz9.(2017山东理,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+ i,z· =4,则a= ()A.1或-1B. 或- C.- D. 3z7733答案A本题主要考查复数的概念及运算.∵z=a+ i,∴ =a- i,又∵z· =4,∴(a+ i)(a- i)=4,∴a2+3=4,∴a2=1,∴a=±1.故选A.3z3z3310.(2016课标全国Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ()A.1B. C. D.223答案B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴ ∴|x+yi|=|1+i|= = .故选B.1,1,xy22112评析本题考查复数相等的条件,属容易题.11.(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则 = ()A.1B.-1C.iD.-i4i1zz答案C∵z =(1+2i)(1-2i)=5,∴ = =i,故选C.z4i1zz4i412.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案A由已知可得 ⇒ ⇒-3m1.故选A.30,10mm3,1mm13.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+ =3-2i,其中i为虚数单位,则z= ()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2iz答案B设z=a+bi(a、b∈R),则2z+ =2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.z14.(2015课标Ⅰ,1,5分)设复数z满足 =i,则|z|= ()A.1B. C. D.211zz23答案A由已知 =i,可得z= = = =i,∴|z|=|i|=1,故选A.11zzi1i12(i1)(i1)(i1)2i215.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= ()A.-1B.0C.1D.2答案B∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,∴ 解得a=0.240,44,aa16.(2015安徽,1,5分)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2i1i答案B∵ = =-1+i,∴复数 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.2i1i2i(1i)22i1i17.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的 为 ()A.iB.-iC.1D.-1共轭复数答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共轭复数为i.18.(2015湖南,1,5分)已知 =1+i(i为虚数单位),则复数z= ()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2(1i)z答案Dz= = = =-1-i.2(1i)1i2i1i2i(1i)(1i)(1i)19.(2015山东,2,5分)若复数z满足 =i,其中i为虚数单位,则z= ()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i1iz答案A =i(1-i)=1+i,则z=1-i.z20.(2015四川,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3- = ()A.-iB.-3iC.iD.3i2i答案Ci3- =-i+2i=i.故选C.2i21.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于 ()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案CA={i,-1,-i,1},B={1,-1},所以A∩B={1,-1},故选C.22.(2014辽宁,2,5分)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z= ()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案A由(z-2i)(2-i)=5,易得z= +2i=2+i+2i=2+3i,故选A.52i23.(2014安徽,1,5分)设i是虚数单位, 表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则 +i· = ()A.-2B.-2iC.2D.2izizz答案C +i· = +i(1-i)= +i+1=2.故选C.izz1iii(1i)124.(2014江西,1,5分) 是z的共轭复数,若z+ =2,(z- )i=2(i为虚数单位),则z= ()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-izzz答案D令z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,所以z+ =2a=2,得a=1,(z- )i=2bi2=-2b=2,得b=-1,∴z=1-i,故选D.zzz25.(2014山东,1,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= ()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案D∵a-i与2+bi互为共轭复数,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.26.(2017课标全国Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故