2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第6章第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的_________，直线l应画成______，Ax＋By＋C＜0，表示直线l_______所有点组成的_________，画不等式Ax＋By＋C0(或0)所表示的平面区域时，应把边界直线画成_____．≥≤平面区域虚线另一侧平面区域实线(2)若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧，则Ax0＋By0＋C与Ax1＋By1＋C____；若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0的异侧，则Ax0＋By0＋C与Ax1＋By1＋C____．(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的____，即各个不等式所表示的平面区域的________．同号异号交集公共部分2．线性规划设z＝2x＋y(x，y为变量)，满足下列条件：x－4y≤－33x＋5y≤25x≥1，求z＝2x＋y的最大值、最小值．这就是一个____________，其中不等式组又称____________．z＝2x＋y叫做________，又叫线性目标函数．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，线性规划问题线性约束条件目标函数统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做_______，由所有可行解组成的集合叫做_______，分别使目标函数取得最大值或最小值的可行解，都叫做这个线性规划问题的_______．可行解可行域最优解思考感悟目标函数z＝ax＋by求最大值时就是把直线ax＋by＝0向上平移可找到最大值，这种说法是否正确？提示：不一定正确．若b0正确，若b0不正确．课前热身1．二元一次不等式3x－2y＋10表示直线的①左侧区域；②右侧区域；③上方区域；④下方区域．其中正确的是________．答案：②④2．(2011年南京调研)若Ax＋By＋50表示的平面区域不包括点(1,2)，ω＝A＋2B，则ω的取值范围是________．答案：[－5，＋∞)3．如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分(包括边界)，则这个不等式组是________．答案：x≤0y≥－12x－y＋2≥04．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有______个．答案：6考点探究·挑战高考考点突破二元一次不等式(组)表示平面区域确定二元一次不等式(组)表示的平面区域有两种方法：一是用特殊点定区域，二是用B的符号与不等式的符号定区域．即B0Ax＋By＋C0及B0Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域，B0Ax＋By＋C0及B0Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．即B的符号及不等式的符号“同号在上，异号在下”．本类问题在高考中极少出现只求平面区域的题目，有些问题是在此基础上求区域的面积等有关问题．(2009年高考安徽卷改编)若不等式组x≥0x＋3y≥43x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，求k的值．例1【思路分析】【解】由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋43恰过C(0，43)，y＝kx＋43将区域平均分成面积相等两部分，故过AB的中点D(12，52)，52＝k×12＋43，k＝73.【名师点评】画直线时，注意找准两点，确定区域，一定要取恰当的易于判断的点，注意找准区域的边界是实线还是虚线，以防错误．求不等式组表示的平面区域的面积，通常是先作出可行域，然后将可行域分割成规则几何图形(如三角形、矩形、梯形等)，进而利用相应的面积公式求解．变式训练1若A为不等式组x≤0y≥0y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．解析：根据题意作图如图．图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S，S＝S△AOD－S△ABC＝12×2×2－12×1×12＝74.答案：74线性规划求最值或范围问题本类问题为高考常考内容，以线性目标函数求最值为主，但目标函数显示有多样性，把常见的情况归类，总结出解题的一般思路是掌握本部分内容的关键，常见的目标函数还有以下几种：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义，能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．已知x、y满足条件7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0，点P(x，y)．求：(1)z＝2x＋y的最小值和最大值；(2)y＋7x＋4的取值范围；(3)x2＋y2的最大值和最小值．例2【思路分析】(1)y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，求在y轴上截距最大和最小值时可求z的最大值和最小值；对于(2)，y＋7x＋4可以理解为区域内的点与点(－4，－7)连线的斜率，故可用斜率模型解决；对于(3)，x2＋y2与距离有关，可用距离模型解决．【解】如图所示，画出不等式组7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0表示的平面区域：其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．(1)先作直线y＝－2x，向上或向下平移时，可知过A点z最大，过B点时z最小．∴zmax＝2×4＋1＝9，zmin＝2×(－1)－6＝－8.(2)y＋7x＋4可理解为区域内的点与点D(－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角．kBD＝13，kCD＝9，所以y＋7x＋4的取值范围为[13，9]．(3)设u＝x2＋y2，则u为点(x，y)到原点的距离．结合不等式所表示的区域，不难知道：点B到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为0.所以umax＝(－1)2＋(－6)2＝37，umin＝0.【名师点评】线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等．变式训练2(2009年高考陕西卷)设x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，则z＝x＋2y的最小值是____________，最大值是__________．解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分，则z＝x＋2y与x＋2y＝0平行，经过点(1,0)时，zmin＝1；过点(3,4)时zmax＝3＋2×4＝11.答案：111线性规划中的实际应用线性规划中的实际生活问题，是应用题的一类，读懂题意，找出数量间的关系，列出准确的不等式关系，是解题的关键，可以用列表的方法找数量关系．本类题在高考中时有出现，不能忽视．(2010年高考广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？例3【思路分析】由题意可知，本题为线性规划模型应用题，设出变量建立线性约束条件和目标函数，求最值及最优解．x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54.即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.【解】法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，zB＝2.5×4＋4×3＝22，zC＝2.5×2＋4×5＝25，zD＝2.5×0＋4×8＝32.比较知，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54.即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移．由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．【名师点评】解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条l；②平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；③求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．方法感悟方法技巧1．解简单线性规划的方法可称为图解法，这种方法是用一族平行直线与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值，从而求其一次函数的最值．2．解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上．3．目标函数所对应的直线的斜率，若与约束条件中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解有可能有无数个．4．解线性规划应用题需从已知条件中建立数学模型，然后利用图解法解决问题，在这个过程中，建立模型需读懂题意，仔细分析，适当引入变量，再利用数学知识解决，求解程序如下：①设出未知数，列出约束条件，确定目标函数z＝ax＋by＋c；②作出可行域；③作出直线l0：ax＋by＝0；④确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；⑤解相关方程组，求出最优解，从而求出目标函数的最小值或最大值．失误防范1．目标函数z＝ax＋by＋c求最值时，平移直线ax＋by＝0，平移的方向与b的正负有关，易弄错方向．b0时向上平移，b0时向下平移．2．坐标轴单位不严格，画出的可行域形状影响求最优解，易出错，为易于观察，应用直尺等工具严格作图．3．若目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2类型时，求两点间距离的最值后，z值应为其平方值考向瞭望·把脉高考考情分析通过分析近几年江苏高考试题可以看出，求目标函数的最值，求最优解及最优解的个数是考查的重点；准确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域，结合图象考查一次不等式(组)对应平面区域的面积、一次函数的取值范围等问题是考查的一个重点．预测在2012年的江苏高考中仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主要考查点．题目难度不会太大，应属中档题．真题透析(2010年高考山东卷改编)设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为________．例【解析】作出可行域如图．由x－y＋2＝0，x＋y－8＝0，解得M(3,5)，由x－5y＋10＝0，x＋y－8＝0，解得N(5,3)，由z＝3x－4y即y＝34x－14z，作出直线y＝34x，平移得最优解M(3,5)，N(5,3)．所以当x＝3，y＝5时，zmin＝－11；当x＝5，y＝3时，zmax＝3.【答案】3，－11【名师点评】求线性目标函数的最值是线性规划问题中的最常见题型，线性目标函数z＝ax＋by可分为两类：b0或b