《离散傅里叶变换-第三章》

3.4.2用DFT对信号进行谱分析信号的谱分析：就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析不便于直接用计算机进行计算，应用受到限制。DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。1.用DFT对连续信号进行谱分析工程中经遇到的连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。先对xa(t)进行时域采样，得到时域离散信号x(n)=xa(nT)；对x(n)进行DFT，得到的X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间[0,2]上的N点等间隔采样；x(n)和X(k)均是有限长序列；DFT对xa(t)进行频谱分析傅里叶变换理论信号持续时间有限长，其频谱是无限宽。信号的频谱有限长，在时域中，该信号的持续时间无限长。上述两种情况，在时域或频域中进行采样，得到的序列都是无限长序列，不满足DFT的变换条件。采用的处理方法：在频域中用滤波器滤除高于折叠频率的高频分量，在时域中则是截取有限点进行DFT。结论：用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似的分析，近似程度与信号带宽、采样频率和截取的长度有关。3.4DFT的应用举例设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc，如下图(a)所示。则xa(t)的傅里叶变换为：dtdttxFTjfXftjtjaa2aa(t)ex(t)ex)]([)(Tp3.4DFT的应用举例对xa(t)以采样频率fs=1/T≥2fc进行采样得：x(n)=Xa(nT)。设共采样N点，并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT,dt=T)得:对x(jf)在区间[0,fs]上等间隔采样N点，采样间隔为F，参数fs、Tp、N和F满足如下关系式：令f=KF，频域N点采样得:令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得,)()(102NnfnTjaaenTxTjfX,)()(102NnfnTjaaenTxTjfX函数值与区间长度T的乘积和F=fs/N=1/NT=1/Tp,FT=1/N1-Nk0,)()(102NnkFnTjaaenTxTjkFX,)()(102NnfnTjaaenTxTjfX210()()NjknNanXjkFTxnTe1-Nk0,)()(102NnkFnTjaaenTxTjkFX1-Nk0DFT[x(n)],T1N0nNkn2jae)n(xT)k(X3.4DFT的应用举例结论:(1)连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样，并进行DFT再乘以T的近似方法得到。(2)连续信号的时域采样信号可以通过对其频谱函数进行采样，并进行IDFT再乘以1/T的近似方法得到。误差现象：(1)分析的结果看不到xa(jf)的全部特性，只能看到N个离散采样点的谱特性，这就是栅栏效应。(2)如果持续时间无限长，分析时要进行截断处理，这样会产生频谱混叠和泄漏现象，使谱分析产生误差。(k)]IDFT[XaT1)n(xDFT[x(n)]T)k(Xa3.4DFT的应用举例【例】理想低通滤波器的单位冲激响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图所示。sin()()athtt用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。由于ha(t)的持续时间为无穷长，所以要截取一段Tp，假设Tp=8s，采样间隔T=0.25s，采样点数N=Tp/T=32。频域采样间隔F=1/NT=0.125Hz。则H(k)=T·DFT[h(n)],0≤k≤31，其中：h(n)=ha(nT)R32(n)整个频响有波动，高频部分误差较大3.4DFT的应用举例对连续信号进行谱分析主要关心的两个问题：谱分析的范围fc：受采样频率fs的限制，fcfs/2，确保不产生频谱混叠失真。频率分辨率：用采样间隔F来描述，表示谱分析中能够分辩两个频谱分量的最小间隔。F越小，频谱分辨率越高。用DFT对连续信号进行谱分析的参数选择原则：采样频率fs：fs2fc谱分辩率:F=fs/N采样点数N的选择：N2fc/F信号观察时间Tp的选择：Tp1/F提高F:(1)如保持N不变，必须fs降低，导致谱分析范围减小；(2)fs不变，增加采样点数N，即增加Tp例：对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10Hz，信号最高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间TPmin，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?解：根据信号观察时间TP的选择原则：TP≥1/F=1/10=0.1s因为要求:fs≥2fc，最小的采样频率为2fc，所以:频率分辨率提高一倍，即：F=5HzTPmin=1/F=1/5=0.2s3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFTmax=1/2fc=Nmin=2fc/F3maxmin110.21022250022250050010ccTsffNFNmin=2fc/Fminmin225001000510.25pNTs观察时间增加一倍，采样点数增加了一倍2.用DFT对序列进行谱分析单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换。X(ejw)是w的连续周期函数，对序列x(n)进行N点DFT，得到X(k)，X(k)是在区间[0,2]上的N点等间隔采样。序列x(n)的傅里叶变换可利用DFT来计算。()()jjzeXeXz(2)对周期序列的频谱分析设序列(n)=x(n+rN)是周期为N的周期序列，则其傅立叶变换为：周期序列的频谱结构可以用离散傅里叶级数系数表示取的主值序列进行N点DFT，得到周期序列的频谱结构也可以用其主值序列的离散傅里叶变换X(k)来表示(分析)x~)kN2w()k(X~N2)]n(x~[FT)e(X1N0njw(k)R(k)XDFT[x(n)]X(k)(n),R(n)xx(n)(-kNN~~),,e)n(x~)]n(x[DFS)k(X~1N0nknN2j若且为整数(k)R(k)X~DFT[x(n)]X(k)(n),R(n)x~x(n)),(-k,)(~)]([)(~NN若且为整数102NnknNjenxnxDFSkX(k)R(k)XDFT[x(n)]X(k)(n),R(n)xx(n)(-kNN~~),,e)n(x~)]n(x[DFS)k(X~1N0nknN2j若且为整数(k)R(k)XDFT[x(n)]X(k)(n),R(n)xx(n)(-kNN~~),,e)n(x~)]n(x[DFS)k(X~1N0nknN2j若且为整数~x(n)令：n=n’+rN，r=0,1,…m-1，n’=0,1…N-1,则整数整数所以整数整数m,0m),mk(mX,m,0m,me1m0rm/rk2jkk(k)XkkM整数整数整数整数由于m,0m),mk(mX,m,0m,me1m0rm/rk2jkk(k)XkkMx~xM(n)=(n)RM(n)即：M=mN，m为整数截取序列的长度M为(n)的整数个周期x~1mN0nknmN2j1M0nknM2jMe)n(x~e)n(x~)k(Xrkm2j1m0r1N0nkmNn2j1m0r1N0nkmN)rNn(2jee)n(xe)rNn(x~1m0rrkm2jrkm2j1m0re)mk(Xe)mk(X设：n=n’+rN3.4DFT的应用举例周期序列的频谱结构也可以用xM(k)表示分析:(1)只有在k=rm时，XM(rm)=m，表示(n)的r次谐波谱线，幅度扩大了m倍，在其它k值，XM(k)＝0。(2)X(r)与XM(rm)对应点的频率相等。(3)只要截取(n)整数个周期进行DFT，就可得到它的频谱结构，达到谱分析的目的。(),()0,MkmXXkmk/m=整数k/m≠整数(),()0,MkmXXkm(),()0,MkmXXkm~21~02(1)~0()()()()[()]()()0,1,,1MMMknMMMnmNknmNnxnxnRnXkDFTxnxnexnekmNX(r)~x~x~3.4DFT的应用举例若事先不知道x(n)的周期，怎样进行频谱分析：先截取x(n)M点，则求xM(n)的DFT：xM(n)=x(n)RM(n)，XM(k)=DFT[xM(n)]，0kM-1;再截取x(n)2M点，则求x2M(n)的DFT：x2M(n)=x(n)R2M(n)，X2M(k)=DFT[x2M(n)]，0k2M-1;将2次截取序列的频谱进行分析，是否满足误差要求，若不满足，应加大截取窗长度（增加M值），再将结果进行分析。~~~~~3.4DFT的应用举例)()(4nRnx02)(jeX16点DFT相当于在序列后补零3.4DFT的应用举例x(n)=cosn/416点相当于取周期序列的两个周期进行DFT3.4DFT的应用举例3．用DFT进行谱分析的误差问题DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，由此可能产生误差分析。(1)频谱混迭现象：原因:不满足时域采样定理避免措施：采样频率fs2fc，以避免信号在w=处附近的混迭。具体方法是：采样时满足采样定理，采样前对信号进行预滤波，滤去信号中频率高于fs/2的频率分量。3.4DFT的应用举例(2)栅栏效应：现象：N点DFT是在区间[0,2]上的N点等间隔采样，采样点之间的频谱函数值是不知道的，就好像从N+1个栅栏缝隙中观看信号的频谱特性，得到的是N个缝隙中看到的频谱函数值，这种现象称为栅栏效应。原因：对信号的频谱进行有限点采样。后果：栅栏效应可能漏掉(挡住)大的频谱分量减少栅栏效应的措施：对原序列补0，增大N，以增加采样点；3.4DFT的应用举例(3)截断效应：原因:对序列x(n)截断所引起的。无限长序列x(n)截短成有限长序列y(n)，即y(n)=x(n)RN(n)，则Y(ejw)=FT[y(n)]=1/(2)X(ejw)*RN(ejw)=1/(2)X(ej)*RN(ej(w-))d，其中X(ejw)=FT[x(n)]RN(ejw)=FT[RN(n)]=e-jw(N-1)/2sin(wN/2)sin(w/2)=RN(w)ej(w)RN(w)w02NN2N矩形窗函数幅度谱主瓣旁瓣3.4DFT的应用举例例：x(n)=cos(w0n)，w0=/4，用DFT分析其频谱特性。解：序列的幅度谱X(ejw)=[(w-/4-2l)+(w+/4-2l)]加矩形窗截断后,Y(ejw)=1/2X(ejw)*RN(ejw)，定性图如下可见，截断后的频谱Y(ejw)与原序列频谱X(ejw)存在差别表现为频谱泄漏：在上图中，原谱线是离散谱线，而截短后，原来的离散谱线向附近展宽，常称这种展宽为泄漏。使谱分辨率F降低。泄漏原因是截取的窗函数有限长。l=-w0-44Y(ejw)N/2加矩形窗后幅度谱w0-44X(ejw)x(n)=cos(w0n)的频谱RN(w)w02NN2N矩形窗函数幅度频3.4DFT的应用举例谱间干扰：在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰（简称谱间干扰），影响频谱分辨率F，旁瓣的信号很强时，可能湮没弱信号的主谱线，导致较大的偏差。上述两种现象都是由于截短序列引起的，统称截断效应。为了减小截短效应的影响，可采取