从两道高考试题浅谈如何选择消元的对象

从两道高考试题浅谈如何选择消元的对象江苏省海州高级中学刘希栋222023消元是解多变元问题的一个重要数学思想，但在解决问题时，选择消去什么？如何消？这对解决问题起重要作用，是应考虑的一个重要问题．下面通过高考试题举例说明：例1．（1997高考）已知cbxaxxf2)(（cba,,为实数，0a），21,xx为方程xxf)(的两实根，且axx1021．（1）求证：当),0[1xx时，1)(xxfx；（2）若函数)(xf的图像关于直线0xx对称，求证：210xx．分析：本题中涉及字母颇多，借助图像，很可能画出下列图形：一是函数xxfxF)()(的图像（图1），二是函数)(xfy与xy的图像（图2）但这两个图形对解决本题所起的作用有限，原因在哪里？图1图2图3题中的约束条件axx1021难以通过画图体现出来，因而图像对解题所起的作用受到限制，其中图2本身就与（1）中要证的结论当),0[1xx时1)(xxf矛盾，因而对解题起到反面的和干扰的作用．实际上函数)(xfy与xy的图像应如图3所示．这里关键是发挥条件axx1021的功能．注意到acxx21，abxx121，为此，本题中留下字母21,,xxa，消去cb,，即可获得解决．解：（1）),0[1xx时，∵axx1021∴0))(()(21xxxxaxxf，0)1)(()(211axxxxaxxf，∴1)(xxfx；（2）∵axx1021∴)1(21221)(221210axxaxxaabx21x．例2．（2009全国高考理Ⅱ）函数cxbxxxf33)(23有两个极值点21,xx，且]0,1[1x，]2,1[2x．（1）求cb,满足的约束条件，并在下面的坐标平面内满足这些条件的点),(cb的区域；（2）证明：21)(102xf．分析：（1）过程略．这里研究（2），这里)(2xf中含有cbx,,2三个字母，如何发挥cxbxxxf33)(23有两个极值点21,xx，满足]0,1[1x，]2,1[2x这一条件，成为解决问题的关键．若消去c，保留b和2x，难以证出21)(102xf；若消去b，保留c和2x，可以证出21)(102xf．这表明对初次面对该题目，尝试解题的学生来说，保留b或c会使证明陷入风险之中，原因是不能充分发挥约束条件]0,1[1x，]2,1[2x的作用；若消去cb,，保留1x和2x，就可充分发挥]0,1[1x，]2,1[2x的作用，可以无风险地证出21)(102xf．解：根据题意，221xxb，21xxc，消去cb,得2213222321)(xxxxf，视1x为变量，显然，322213222322123212321xxxxxx，而函数22322321xxy与3221xy在]2,1[2x都单调递减，所以，2123211022132xxx．视2x为变量，同样可证．通过以上的例子，我们看到在解多变元问题时，选择消元对象对解题有很大的影响，就以上两道高考题而言，变量21,xx是“自由变量”，是相互独立的，而变量cb,是相对于21,xx的“次自由变量”，不是相互独立的．这是确定消元对象时要思考的根本所在．联系方式：江苏省海州高级中学刘希栋电话：0518—82990938邮箱：[e-mail]