反常积分初步少学时

§6.5反常积分初步一、无穷限积分二、瑕积分BΓ三、函数与函数1.定义定义6.2.),[)()316(d)(],[)()(),[)(上的无穷限积分在无穷区间为符号上可积，则称在，且对任意实数上有定义，在区间设函数axfxxfbaxfabbaxfa一、无穷限积分.d)()326(符号，无数值意义发散，这时它只是一个分不存在，则称无穷限积若极限axxf)336(d)(limd)(babaxxfxxf穷限积分的值，记作并且定义极限值为该无收敛，存在，则称无穷限积分若极限ababxxfxxfd)()326(d)(lim定义6.3.],()()236(d)(],[)()(],()(上的无穷限积分在无穷区间为上可积，则称在，意实数上有定义，且对任在区间设bxfxxfbaxfbaabxfb)336(d)(limd)(d)(d)(limbaabbbaaxxfxxfxxfxxf收敛，且存在，称无穷限积分若极限.d)(发散称无穷限积分若上述极限不存在，则bxxf定义6.4)346(d)(d)(d)(d)(d)(d)(),()(ccccxxfxxfxxfxxfxxfxxfcxf收敛，记作分都收敛，则称无穷限积与，积分实数内有定义，若对任意在设.d)(发散称积分，则，只要有一个积分发散当上式右端两个积分中xxf例1讨论下列无穷限积分的敛散性：;d11)1(02xx;de)2(0xx.dsin)3(xx解，有对任意0)1(bbbxxx002arctand11barctan，且由于2πarctanlimbb.2πd1102收敛于因此xx，有对任意0)2(b00edebxbxxbe1.1de0收敛于因此xx，且由于0elimbb，和中包含两个无穷限积分由于xxxxxxdsindsindsin)3(00bbxxx00cosdsinbcos1不存在，且由于bbcoslim，中，对任意在0dsin0bxx发散，因此xxdsin0.dsin发散从而xx性质6.6.)(d)(d)(的敛散性具有相同与abxxfxxfba性质6.7.)0(d)(d)(有相同的敛散性具为常数与AxxfxxAfaa性质6.8收敛，且收敛，则与设aaaxxgxfxxgxxfd)]()([d)(d)(.d)(d)(d)]()([aaaxxgxxfxxgxf.d)(莱布尼茨公式的牛顿的计算也有类似关于无穷限积分axxf性质6.9)356()()()(d)()(lim)()(lim),[)()(aFFxFxxfxFFxFaxfxFaaxx，则存在，记且上的原函数，在是设而且定积分的换元法在无穷限积分中也成立.例2讨论下列无穷限积分的敛散性.;de)1(0xxx;d)2(1pxx;de1e)3(2xxx.d)4(12xxx解由分部积分公式可得)1(00dedexxxxx00deexxxx0ex1xxxxxelime0其中要注意，不能出现如下运算ee0xx.0elimxxx0时，当1)2(p11lnd1xxx，时当1p1111d1pxxxpp1111ppp，，时发散，在故1d11pxxp.111pp时收敛于在由于)3(xxxxx22e1dede1e，则令xte0221de1dettxx0arctant2π由于)4(112)1(ddxxxxxxxxxd111111lnxx2ln1.定义定义6.7收敛，存在，则称瑕积分若极限上的瑕积分在为称的瑕点，为时无界，则称在但上可积，在，对任意上有定义，并且在区间设函数bababaxxfxxfbaxfxxfxfaaxxfbaxfabbaxfd)(d)(lim.],()(d)()()(],[)()0(0],()(0即并以此极限值为其值，)366(d)(limd)(0babaxxfxxf二、瑕积分.d)(发散积分若极限不存在，则称瑕baxxf的收敛性：可以类似地定义瑕积分时无界，在为瑕点时，即函数当baxxfbxxfbd)()()376(d)(limd)(d)(d)(lim00babababaxxfxxfxxfxxf即且定义其值为极限值，敛，收存在，称瑕积分若.d)(d)(lim0发散不存在，则称瑕积分若极限babaxxfxxf，时无界当cxbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()386(d)(limd)(lim00bccaxxfxxf.d)(发散否则称瑕积分baxxf，内部一点在一般地，如果cbaxf),()(,bca即收敛，且收敛时，称瑕积分皆与那么规定两个瑕积分babccaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例5讨论下列瑕积分的敛散性：;d)1(1)2(2032xx;dln)1(10xxx.d)(1)3(bapxax解.)1,0(0)1(是瑕点，对任意x11dln2dlnxxxxx11d1ln2xxxx)2ln(21x44ln2，由洛必达法则得0lnlim0，则4dlnlim10xxx.4dln10收敛于即瑕积分xxx是瑕点，1)2(x10301032013limd)1(1limxxx)1(lim3303；收敛于因此瑕积分3d)1(11032xx，收敛于同样可求得瑕积分3d)1(12132xx，先考虑瑕积分1032d)1(1xx.6d)1(12032收敛于因此瑕积分xx是瑕点，ax)3(babaaxxaxlnd1ln)ln(ab时，1pbapbappaxxax1)(d)(111,1)(1,1ppabpp时，，对任何1),0(pab])[(1111ppabp因此bapbapxaxxaxd)(1limd)(10时发散；当即瑕积分1d)(1pxaxbap.1)(11pabpp时收敛于当例6判断下列瑕积分的敛散性：;d1)1(022axxa.d1)2(11xx解是瑕点，ax)1(2π0022dcoscosd1xtataxxaa2π0dt,2π.2πd1022收敛于即瑕积分axxa，则令taxsin是瑕点，0)2(x，与分别考虑瑕积分1001d1d1xxxx.d1)3(511发散的结论知由例xx注意以下计算是错误的：1111lnd1xxx,0.0ln1点不连续在的原函数这是因为xxxBΓ函数.1函数，记为的函数称为为参变量作称为参变量其中反常积分)(de01xxx)396(de)(01xxx性质6.10满足下列关系：)(;)()1()1(;1)1()2(.)(!)1()3(为自然数nnn三、函数与函数证明由分部积分公式可得0de)1(xxx0dexx010deexxxxx)(0de)1(xx0ex1，则中取在n)()1()()1(nnn)1()1(nnn)1(12)1(nn!n函数B.2函数，记为函数就称为的，作为参变量反常积分Bd)1(1011qpxxxqp)406(d)1(),(B1011xxxqpqp性质6.11B函数满足下列条件：;),(B),(B)1(pqqp;),1(B1)1,1(B)2(qpqpqqp.)()()(),(B)3(qpqpqp证明，则中令在tx1)406(1011d)1(),(Bxxxqpqp1011d)1(tttpq),(Bpq10d)1()1,1(Bxxxqpqp101)d(1)1(xxxxqp1011101d)1(d)1(xxxxxxqpqp1011d)1(),1(Bxxxqpqp得中利用分部积分公式可在1011d)1(xxxqp1011011)1(d1d)1(qpqpxxqxxx10101d)1(1)1(1xxxqpxxqqpqp)1,1(B1qpqp因此)1,1(B1),1(B)1,1(Bqpqpqpqp求得).,1(B1)1,1(Bqpqpqqp例9；，求2121,21B)1(.de)2(02xx求解(1)由于102d121,21Bxxx是瑕点，由配方法可得，其中10xx102102d)12(112d1xxxxx，有再令12xt102d11tt2π因此π21,21B可知由性质)3(11.6112102d1121d)12(11ttxx.π21,2121B对无限区间上的积分称为无穷限积分，对无界函数的积分称为瑕积分，统称为反常积分.，则中令在20de)2(2xtxx00de121de2ttxtx2121.2π