1-3条件概率与乘法公式

第三讲条件概率及相关公式•条件概率定义及条件概率公式•乘法公式•全概率公式•贝叶斯公式（综合分析得出某事件发生的概率）在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些条件时随机事件发生的概率。条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式概率性质：有限可加性注意对此种条件概率的理解知识框架图S={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH},B={HH,TT}连抛硬币2次，观察向上面出现的情况。求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率？引例131)|(ABP事件AB中样本点的数目事件A中样本点的数目13SBAAB引例2：一批同型号降血压补品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表：等级数量厂名甲厂乙厂合计合格品次品合计47525500644567001119811200问题1：从这批产品中随机抽出一件，问取出产品是甲厂生产的概率？%667.411200500问题2：从这批产品中随机抽出一件，是次品的概率？%75.6120081%550025%083.2120025是否恒定成立呢？（)()()|APABPABP问题3：如被告取出产品是甲厂生产的，被抽产品为次品的概率？问题4：问被抽取的产品是”甲厂生产的，同时为次品”的概率？如果记“取出产品是甲厂生产的”为事件A，“取出产品为次品”为事件B，在事件A发生的条件下，求事件B发生的概率，即条件概率，记为P（B|A）。注意观察问题1，3，4，思考：)()(1200/5001200/2550025)|APABPABP（事实上，容易验证，对于一般的古典概率，只要P(A)0,总有)()()|APABPABP（定义1：设A，B两个事件，P(A)0，将已知事件A发生条件下事件B发生的条件概率记为P(B|A)条件概率的定义()(|)()0()PABPBAPAPA,)()()|(BPABPBAPP(B)0样本点的个数缩减样本空间中所含的的样本点的个数在缩减样本空间中所含BABP)(2、在A已经发生的条件下，将S缩减为A（即事件A所包含的基本事件全体）中，直接计算B发生的概率。1、通过定义，在样本空间S中，先计算出P(AB)、P(A)，再利用定义计算:条件概率的两种计算方法P（A）=432142)(BP={(g,g),(b,b),(b,g),(g,b)}A={（b,b）,（b,g）,（g,b）};B={（b,g）,（g,b）}记g表示女孩，b表示男孩，则例1考察有两个孩子的家庭，事件A表示至少求P（A）及P（B）。有一个男孩，事件B表示恰好有一个女孩。则在这种情况下事件B的概率为：32p={（b，b）,（b，g）,（g，b）};由于信息增加了，样本空间发生了变化，此时样本空间为:若已知某家庭至少有一个男孩，求恰好有一个女孩的概率。ABAB若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有)()()(BPABPBAP计算P(A|B)时，这个前提条件未变，这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.只是加上“事件B已发生”这个新的条件.1.对于任一事件B，有1≥P(B|A)≥02.P(S|A)＝13.设两两互不相容条件概率性质(自行验证)11nniiiiP|AP|AAA12nA,A,,A(|)(|)(|)1PBBAPBAPBA设事件A满足P（A）0，则条件概率P(B|A)与无条件P(B)的区别P(B)是在原始试验条件下事件B发生的可能性大小。P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的环境不同,它们是两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。条件概率P(B|A)是在原始条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率。一般的，P(B|A)≠P(B)掷骰子设A={掷出2点}，B={掷出偶数点}P(A|B）=31B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数例2掷一颗均匀骰子，例3掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,解法1:)()()|(BPABPBAP解法2:2163)|(BAP解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算21366363问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?有关条件概率的三公式•乘法定理（同时发生的事件的概率）•全概率公式（如何以全局的观点认识事件的发生）•贝叶斯公式（※）由条件概率的定义：即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2))()()|(BPABPBAP而P(AB)=P(BA)乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)注意P(AB)与P(A|B)的区别！乘法公式()(|)()0()PABPBAPAPA()(|)()PABPBAPA()(|)()0()PABPABPBPB()(|)()PABPABPB作用：计算两个事件同时发生的概率例：一袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取1球（不放回），求两次取到均为黑球的概率。1、古典概型方法：2、乘法公式方法：解：23210115PPCP乘法公式的推广1210nPAAA对于任一n1，如果则有121nPAAAPA21|PAA3121122121|||nnnnPAAAPAAAAPAAAA乘法公式适用范围：求若干事件的积事件的概率，如果这些事件之间存在“顺序”，可以考虑“顺序”造成的概率影响，利用乘法公式求概率。件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个所求为P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}例：甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问设B={零件是乙厂生产}A={是标准件}若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”求的是P(A|B).B发生,在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产例：设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(APBPAB例：假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则甲、乙被击落的概率。的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，分析：在这几个回合中,乙机有两次被击落的机会；iA2,1i=“乙机第次被击落”i甲机只有一次被击落的机会；B=“甲机被击落”A=“乙机被击落”2121,AAAAA且1ABBAA12已知4.0)(,3.0)(,2.0)(1211BAAPABPAP)()()()(111ABPAPBAPBP24.03.08.0)()()(21122ABAPBAAPAP224.04.07.08.0)()()(1211BAAPABPAP)()()()(2121APAPAAPAP424.0224.02.0例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=0，1,2,3由全概率公式P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)且B=A0B+A1B+A2B+A3B求解如下:依题意，P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1则构成一个完备事件组3210,,,AAAA可求得:为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3)()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)=0.458=0×P(A0)+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)