大气流体力学第3章

1第三章大气运动基本方程组前两章主要介绍了连续介质的概念，研究流体力学的两种常用方法，并介绍了N-S方程及其应用，这一章我们着重来研究一个具体的流体的运动规律，即旋转地球上的大气运动的规律。旋转地球上的大气运动的规律，主要是用流体力学的方法，来描述与讨论大气运动的基本规律。因此，它的基础就是流体力学，但是它又与一般的流体力学有所差别，正因为有差别，才能将气象科学与其它流体力学区别开来。21、大气运动与一般流体运动区别最重要的一点，就是气象上的运动具有大尺度的特征气象上运动一般水平尺度是数百公里到数千公里的范围，有时候还几乎等于地球半径。因此，这类运动中就必须考虑地球自转的作用，也正是这一点，在大气中存在一种准地转关系。例如在给定压力分布情况下，一般流体均是沿着压力梯度方向运动的，即“水是从高处往低处流的”，但是，由于地球的旋转效应，将会改变“水往低处流”，而是出现流体沿着等压线（即与压力梯度相垂直）流动的趋势和现象，这就是我们将要学习的地转风；而且旋转的越厉害，这种趋势和现象越明显。大气运动的主要特点32、大气的运动具有准水平的特征由于重力场的作用，使得大气质量向地表面集中。由此造成了气压在铅直方向上的分布不均匀，描述这种分布的就是众所周知的静力方程。此外，密度和温度在垂直方向的分布也不均匀，这种介质的物理性质的不均匀分布，使大气具有层结的分布。但是，就大范围而言，层结具有稳定的特点，这就使垂直方向的扰动受到了抑制，再加上地球旋转的效应，因此，运动就具有准水平的特征。大气运动的主要特点4大气运动的主要特点3、大气中含有水汽大气中的水汽成分在运动过程中发生了相变，而相变的潜热又反过来供给大气，促使运动得到支持和发展。4、大气的其它的一些重要特征，例如大气的斜压性，准不可压缩性那么准的含义是什么呢？5※“准”的含义水平运动：垂直速度为零。准水平运动：主要是水平运动，但垂直运动也很重要（降水的形成）。地转运动：科氏力与气压梯度力相等，加速度等于零。准地转运动：科氏力与气压梯度力近似相等，加速度不等于零，系统能发展。6流体力学对大气运动的研究包括:考虑地球自转的、准水平运动大尺度大气动力过程。大尺度系统，又称天气尺度系统、天气系统。所以说7以流体力学为基础的动力气象学与天气学不同之处在于：天气学：从观测资料出发，经验性的，总结天气过程的发生发展规律，（主观）推断可能机理动力学：从物理定律出发，从理论上，（客观）揭示天气过程的发生发展规律和机理8§3.1作用于大气上的力，惯性坐标系运动方程1、惯性坐标系相对于某个恒星（如太阳）静止或作匀速直线运动（即没有加速度）的坐标系。所谓惯性坐标系就是牛顿第二定律适用的坐标系，否则就是非惯性坐标系。9aaiidVFdt123iiFFFF11Fp惯性坐标系下牛顿第二定律成立：对于空气微图，作用于其上的外力有23GMFrr3F摩擦力=外摩擦力+内摩擦力31aadVGMprFdtr10旋转(相对)坐标系相对于某个恒星（如太阳）作旋转运动（即有加速度）的坐标系，则固定在地球上的坐标系属于旋转坐标系11由于人们总是取固定在地球上并且与地球一起转动的参考系来考察和研究大气的运动，而这种坐标系是非惯性坐标系。当把加速度转换在非惯性坐标系中，它并非不变量，而要出现由于参考系旋转所引起的加速度的附加项。而且，对于随同参考系一起旋转的观测者而言，加速度中的此种附加项是作为体积力作用的形式而出现的，统称为惯性力。12131415162、旋转坐标系中加速度的表达式所谓惯性坐标系就是牛顿第二定律适用的坐标系，否则就是非惯性坐标系。如图所示，点P表示某质点在起始时刻的位置，假设观测者也在该同一位置。经过时间dt，空气质点移到点Pa，同时，对于地面不动的观测者随地球自转移动到Pe处。我们称为牵连位移，以来表示；在绝对（即固定）坐标中观测到的质点位移为绝对位移，以来表示；在相对坐标（即随地球一起转的坐标）中观测到的位移为相对位移，以表示。Rppepar地轴17显然，绝对位移是相对位移与牵连位移的矢量和，即Rppepar地轴此式除以dt，得18此式除以dt，得即（3.5）其中=是绝对速度，因为由转动引起的牵连速度是P点位置矢的时间导数，即=是相对速度，是牵连速度其中是地转角速度矢，R是在纬圈面上的半径（3.2*）（3.1*）=19将3.2*代入3.1*即得：3.3*将3.3*中的去掉，则得：表示相对坐标系中的个别变化其中，表示绝对坐标系中的个别变化3.3**1）3.3**表示了绝对坐标系的个别变化与相对坐标系中的个别变化之间的关系说明：2）3.3**式中的算符对任意矢量都是成立的20将3.3*中的换成绝对速度以（3.5）与代入3.10式得：3.10将3.4*式右端展开后，因为常数，可得：3.4*上式表示绝对坐标系中的加速度与相对坐标系中的加速度之间的关系3.5*2122称为科里奥利力（科氏力），称为惯性离心力我们知道，惯性流体动力学方程或N-S方程为：不考虑黏性力，将3.5*代入上式，即得3.7*根据达朗贝尔（D’Alembert)原理，3.7*式可以移到右边作为惯性力来考虑，这样，3.5*中的3项加速度都可以看作是惯性力.但是为了明确起见，我们以后只把称为惯性力，而把3.6*23将3.7*改写一下：3.8*讨论：1）方程是在相对坐标系或旋转坐标系中的大气运动方程2）方程的右边多了两项，它们在物理学中称为惯性力，是由于旋转效应而引起的附加项3）就是科氏力4）是惯性离心力（惯性离心力和离心力是两个不同的概念）5）ga是万有引力2425二、作用于大气上的力共有两类第一种称为表面力，它是周围空气介质作用在空气微团表面上的力，与作用面的面积大小成比例第二种称为质量力或体力，这种力作用在组成空气微团的所有质点上，与空气微团的质量或体积成比例，而与空气微团以外的空气介质的存在无关261，气压梯度力气压梯度力是空气介质对空气微团的作用力。考虑大气中一物质体积元，取笛卡尔坐标系，其体积为体积元的中心在（x0，y0，z0）处，如右图所示，该体积元各面上都要受到周围空气对它的作用力——压力。以P0代表该体积元中心处的气压则在右图中A面上的气压为：作用在A面上的总压力为：其中是A的面积27同理，作用在B面上的总压力为：因此，作用在体积元上x方向的合压力为：若空气微团的密度为ρ，该体积元含有的大质量上的合压力为：该力的方向与x轴的方向平行。气质量为因而作用于每单位空气考虑周围空气对其它面上的压力，则有所以周围空气介质对每单位质量空气微团的作用力为：28将上式写成矢量形式，即可得到作用在单位质量的气压梯度力：讨论：①气压梯度力是面力⑤水平气压梯度力比垂直气压梯度力小很多④显然只有在非均匀气压场中才存在气压梯度力②气压梯度力的大小与气压梯度成正比，与空气的密度成反比。即等压线越密集，气压梯度就越大，在同样的气压梯度下，高处的风比低空的大，因为高空的密度小。③气压梯度力的方向指向-方向，即由高压指向低压，垂直于等压线。水平方向100km相差1hPa垂直方向8-10km相差1hPa由于向上的气压梯度力和重力得到准静力平衡，所以虽然垂直方向上气压梯度力大，但运动不明显；而水平方向上力很小但运动明显，故大气基本上是准水平运动293031322，重力地球上任何物体（单位质量），都受地心的万有引力ga，它是指向地心的。由于地球是一个近似的椭球体，因此，万有引力ga并不垂直于地面。由于地球自转，单纯的万有引力ga是无法测量的，实际测量的是地心引力和惯性离心力的合力，这就是通常说是的重力，对单位质量空气微团而言，它表示为3.9*Ngagφ离心力重力加速度的经验公式为（精确度相当地高）：其中是纬度，在动力气象中一般可以不考虑g与纬度和高度z的关系。并把重力加速度看作常数。33讨论：1）除赤道和极地外，重力g并不指向球心，而具有指向赤道方向的分量3.10*2）重力g是位势力（重力对物体所做的功与物体的运动路劲无关，只决定于物体的初始和终止位置离地心的距离），它可以表为其中称为重力位势，它是引力位势和离心力位势之和3）重力g的方向垂直于等重力位势面，且由高重力位势面指向低重力位势面4）g的大小，就是重力加速度34各等重力位势面示意图重力位势面：1）重力位势面是一族包围着地球的椭球面。海平面也是一个等重力位势面，一般令其位势等于03）重力位势用位势米（gpm）去度量重力位势面，因为用几何“米”这把尺子去度量重力位势时，等重力位势面存在不平行的情况4）重力位势表示移动单位空气质量微团从海平面（z=0）到z高度，克服重力所做的功，其数值近似等于重力加速度g乘以海拔高度z2）等重力位势面的几何距离是不不同的。在极地密（g数值相对大）赤道疏（g数值相对小）4）位势米的本质不是高度，而是重力位势353，分子黏性力略除了以上三种力以外，根据达朗贝尔（D’Alembert)原理，在旋转坐标系中又增加了两个力，一个是惯性离心力，另一个就是科里奥利力（科氏力），361）垂直于地转轴，它在纬圈面内，但不一定在直径园面内4，科里奥利力（科氏力）对单位质量的空气微团而言，Coriolis力的特征讨论：2）垂直于风速，因此，科氏力仅能改变运动的方向，但不能改变速度的大小，所以科氏力也称为折向力或地转偏向力3）即使做水平方向上的运动，仍有铅直方向上的科氏力分量3738三、大气运动方程综上，可以得到在旋转(相对)坐标系中单位质量空气质点的运动方程为：3.1839四、Z坐标系中大气运动方程以上写出的方程是矢量形式，便以理解，但是在具体用于计算时，还需把它按照一定的相对坐标系写出分量的形式。在气象上，相对坐标有好几种，如Z坐标，P坐标，σ坐标，下面讲述Z坐标中的分量方程40Z坐标中也称为标准坐标（局地直角平面坐标系），它的坐标原点取在地球表面某一点O处，Z轴与地面垂直，指向天顶为正。x轴与y轴组成的平面与地面相切于O点，令x向东为正，y向北为正，这是一个正交的右手坐标，它是随着地球自转而运动的。41在Z坐标中，地球自转角速度矢的三个分量为可将写成：其中依次为x，y，z轴的方向矢风速矢量可以写成：42科氏力可以写成：因此，如果不计摩擦力，那么，相对运动方程在标准坐标系中可以写成x，y，z轴的三个分量如下：43这就是描述旋转地球上大气运动的方程组，以后，将对此方程再做合适的简化，使其能够更深刻地刻划出不同尺度的运动特质44五、地转参数的简化以及β平面近似需要指出的是，由于Z坐标把球面性的地面当作平面，这在应用时是有一定的误差的。在小尺度运动中，误差可以不计，随着运动尺度的增大，误差逐渐增大，为了克服这一缺点，一种办法是用球坐标（后面还要讲），但是比较复杂，所以通常采用另外一种办法，即仍使用Z坐标，而把地面球面性的主要影响，即科氏参数f=（2ΩsinØ）的变化考虑在内，即45即将f在纬度φ0处展开成泰勒级数，则有：若令L代表运动的径向水平尺度，则（）式前两项之比为：46因此，在中纬度地区，若运动的经向水平尺度远小于地球半径时，可以取既把f作为常数处理，这种近似称为近似。取这种近似相当于完全没有考虑地球球面性所引起的f随纬度的变化。高一级近似是所谓平面近似，其主要内容是：（一）当f处于系数地位不被微商时，取：；（二）当f处于对y求导时，取为常数。取β为常数为何称为β平面近似呢？47如右图，过处作一平面,其天顶方向如图。这时唯一由决定；这时平面确定后因此矢量在此平面上的为常数。因此，相当于把地面取成过处的平面，所以称其为平面近似。采用平面近似后，用局地直角坐标系讨论大尺度大气运动是方便的，由于球面效应引起的曲率项被忽略了，但球面性引起的f随纬度的变化对大尺度的作用却被部份保留下来。在低纬赤道地区，，因而有这时称为赤道平面近似，常用于研究低纬度大气动力学问题0acos20cos常数000fyayf248§3.2连续方程和热力学方程一、连续方程质量守恒原理是指流体在流动过程中既不会产生也不会消失。对于右图所示的