2.4 无穷大量与无穷小量

§2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大量与无穷小量二、无穷小量与无穷大量阶的比较第二章定义2.4)()1()()(0)(limXxoxfXxxfxfXx下的无穷小量，简记为是极限过程，则称若一、无穷大量与无穷小量0lnlim1xx0lim0xx);0()1(xox例如：);1()1(lnxox);()1(exox0limxxe定义2.5.)(,)(lim时无穷大量是则称若XxxfxfXx第二章例如：11lim1xx.111时的无穷大量为当称xxxxlnlim0.0ln时的无穷大量为当称xx2limxx.2时的无穷大量为当称xx关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：(2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化过程而言的。x1例如：时为无穷大量。当0x时为无穷小量，当x(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。；并且)(lim,)(lim)(lim)6(000xfxfxfxxxxxx.)5(积都为无穷小量有限个无穷小量之和、；且)(lim)(lim)(limxfxfxfxxx(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指一个变量。实数中仅有０是无穷小量！(4)无穷大量是一个特殊的无界变量，反之无界变量未必为无穷大量。..0,,,0,3,0,2,0,1量但这个数列不是无穷大无界例如：数列n.之和不一定为无穷大量大量无穷大，但有限个无穷有限个无穷大量之积为知由)()1()(XxoAxf证明及四则运算法则知由AxfXx)(lim例)()1()()(limXxoAxfAxfXx的充分必要条件是证明：必要性：.)(下的无穷小量是从而XxAxf充分性：0])([limAxfXx])([lim)(limAAxfxfXxXxAAxfXxXxlim])([lim，0)(limAxfXx.A(无穷小量与函数极限的关系)])([limAxfXx)()1()(XxoAxf)(lim,2sin1)(lim020xfxxxxfxx求例：已知解：1sinsin1)()(2xxxxxxxfxf法一：21sinlimlimsin1)(lim)(lim00200xxxxxxxfxfxxxx)1(2sin1)(2oxxxxf法二：1sin)(2)(xxxoxxf例.)()1()()(,)(,)()1()(XxoxgxfXxxgXxoxf证明：有界量时的是若证明)()()()(0XxxfMxgxf时的有界量，是由于Xxxg)()()(XxMxg).()1()()(Xxoxgxf因此)(lim)(limxfMxfMXxXx从而，由于)()1()(Xxoxf,0)()(limxgxfXx由夹逼定理可得从而使得则存在常数,0M,0性质:无穷小量与局部有界变量之积仍为无穷小量。,0)()(limxgxfXxxxx1sinlim.0求极限例解：,11sinx因为.01sin时是有界变量当所以xx,0lim0xx又.0时是无穷小量当所以xx.1sin0的乘积是有界变量与无穷小量时，所以当xxx.01sinlim0xxx由前面的性质可知：?sinlimxxx1sinlim.2arctan1lim.1232xxxxxxx练习：求极限：.0;0:key注:无穷大量与有界变量之积未必为无穷大量。无穷小与无穷大的关系：若为无穷大,)(1xf为无穷小;若为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则在自变量的同一变化过程中,关于无穷大的问题可转化为无穷小来讨论.说明:练习：xxxxx22cossinlim)2(.4532lim)1(21xxxx求)00(，型.1,:key指出下列变量当时是无穷小量：?xxexxx112,)1ln(,11指出下列变量当时是无穷大量：?xxex1),1ln(二、无穷小量与无穷大量阶的比较001.01.05.01x0000001.0001.0125.013x00001.001.025.012x的速度要快。趋于比显然0,23xxx时都为无穷小量当例：函数0,,32xxxx无穷小量虽然都是趋于零的变量，但不同的无穷小量趋于零的速度都不一样，有时差别很大。无穷大的速度也不同。同样不同无穷大量趋于(一)Def2.6:0lim，且AXx，如果0)1(A则称是的高阶的无穷小量.))(()1(Xxoo记为，如果A)2(则称是的低阶的无穷小量.，，如果0)3(A则称与是同阶的无穷小量.特别地，，如果1A则称与是等价的无穷小量.~记为)(Xx设和均是变化趋势下的两个无穷小量，Xx)00(型(二)Def2.７:，且AXxlim设和均是变化趋势下的两个无穷大量，Xx，如果0)1(A则称是的低阶的无穷大量.))((Xxo记为或称是的高阶的无穷大量.，如果0)2(A则称与是同阶的无穷大量.，如果1A则称与是等价的无穷大量..为数列时同样定义和.阶；无穷大量更大的为高无穷小量更小的为高阶)(型211limnnn高阶无穷小。是比时，当nnn112例1、例2、39lim23xxx是同阶无穷小。与时，当3932xxxxxxx20lim是等价无穷小。与时，当xxxx20例3、61)0(~2xxxx)1(12non记为例4、之间的阶的比较。时，比较当522,2,xxxx是同阶无穷大量。与的高阶无穷大量；是22252xxxx为多少？则常数是等价无穷小，和时，当练习：baxbxaxx,111)1(21,0:bakey的高阶无穷小量。是证：时设xxxfxxfx)(,~)(0)2(.,,31lim.,832lim)2(2123baxbaxxcxcxxxx求设求设性质2.13,)()(~)(,)()1()(,)1()(XxxgxfXxxgxf且若BxgxvAxuxgXxXx)()(lim,)()(lim若.)()(lim,)()(limBxfxvAxuxfXxXx则穷小代换。其极限值，称为等价无改变用等价无穷小量替换不在乘除运算的极限中可常用等价无穷小:,0时当x;arctan~arcsin~tan~sin~xxxxx,21~cos12xx)1ln(~xx)0(~1)1(是常数aaxxa)1,0(ln~1aaaxax,1时当x.1~lnxx。可用任意无穷小量代替上列等价量中，x)0(~sin例如：)(1~)11ln(xxx,1e~x例21cos1lim20xxx证明：2sin2cos12xx由于)0(~sinxxx又证：220202sin2limcos1limxxxxxx所以22022limxxx2111lim0xexx证明：例)1ln(,1yxeyx则令1)1ln(lim1lim00yyxeyxx00yx时当证：)0(2~2sinxxx故例,~sinxxxcos1时，有当0x,21~2xxxxxsincos1lim0求极限解.21xxxxxxxx20021limsincos1lim所以有00例.πsinlimnnn求极限解,时由于n，0πn,π~πsinnn因此nnnπsinlimnnnπlimπ..2sinsintanlim30xxxx求xxxxxxx2~2sin,~sin,~tan,0时当30)2(limxxxx原式.0,0时当x)cos1(tansintanxxxx,2121~32xxx,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错正00例解解.穷小代换积因子时才可用等价无强调：无穷小量作为乘231sinlimsintanlim2tan4sinlim20xxxxxxxxxx求xxxx4sin2tanlim0xxxxtansin21lnlim0Key:25;31;41;1;2如果且或设)),(0)(0)(lim()(limXxxfxfxfXxXx定义2.8性质2.11).()(~)(,)(lim),()(,,)(limXxxfxgxgxfxgXxxfXxXx且则部是的主时且设性质2.12).()(~)()()1()(,)()(,)(0)(),1()(XxxfxgXxxgxfxgXxxfxf且则的主部是并且设.)()()())(()()(的主部是时，则称xgxfXxXxxfoxfxg例.2sin2lim2330xxxxxx求极限解23302sin2limxxxxxx,~sin,0,0333xxxx时330sin2limxxx330lim2xxx.2,sin2sin233xxx的主部为因此，的主部为3232xxxx00