2.4 旋度

《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部12020年1月21日星期二CirculationandRotationofVectorField《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部22020年1月21日星期二不是所有的矢量场都由通量源激发．存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零．但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零．一.环量(Circulation)例如：流速场《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部32020年1月21日星期二llAd定义：矢量场沿一条有向闭曲线（即取定了正方向的闭曲线）的线积分称为矢量场沿该曲线的环量，以表示．)(MAl)(MAkzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(kzdjydixdldldzRdyQdxPldlA直角坐标系中则环量可写为AldC),,(zyx《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部42020年1月21日星期二对于力场，环流代表质点绕闭合曲线C旋转一周，力所做的功。llAdldzRdyQdxPAldC),,(zyx如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。环量可以用来描述产生该矢量场的旋涡源．《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部52020年1月21日星期二llAd环量的性质：环量是数量.ldzRdyQdxPPAA（a）lΓ0，场有沿着C旋转的量，旋涡场，有旋涡源正向穿过曲面S.（S的法向与C成右手螺旋关系）.S环流描述穿过S面的涡旋源的总量.Γ0，场有沿着C反向旋转的量，有旋涡源反向穿过S.Γ＝0，场没有沿着C旋转的量，没有旋涡源穿过S.《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部62020年1月21日星期二IlHCd0dClE恒磁场静电场说明恒磁场是旋涡场，电流是其旋涡源。说明静电场是非旋涡场。环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡特性。《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部72020年1月21日星期二流速场均匀直线流动非均匀直线流动水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无旋涡运动流体做涡旋运动0，有产生旋涡的源《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部82020年1月21日星期二《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部92020年1月21日星期二例１的环量（如图）．沿曲线是常数求矢量场0,)2()(222zRyxckcjxiyA《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部102020年1月21日星期二解：由于在曲线上z=0，所以dz=0．ldAlxdyydx)(2020)sin()cos2()cos2(sinRdRRdRdRRdRcos)cos2(sin202202dRR]cos2)cos(sin[22220dRR)cos2(22022R《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部112020年1月21日星期二CMnA二.环量面密度在场矢量中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为.)(MAn当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环量面密度)(MAnsldACsn0lim即单位面积平均环流的极限.C的正方向与符合右手螺旋法则.n表示矢量场在点M处沿方向的漩涡源密度.)(MAn《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部122020年1月21日星期二环量面密度：矢量的环量与产生这种矢量的旋涡源有关：dSnsldACsn0lim单位面积内的环量.如果某矢量的环量不为零，则认为场中必然有产生这种场的旋涡源.如果环量为零，则这个场中不可能有旋涡源.《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部132020年1月21日星期二SCMne0n说明场在该点有旋涡，该点有沿着方向的旋涡源，源的面密度为nen0n说明场在该点有旋涡，该点有沿着方向的旋涡源，源的面密度为nen0n场在该点无旋涡部分，无该方向的旋涡源。ne《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部142020年1月21日星期二旋度的定义(rotation)旋度是反映漩涡源的一个矢量，方向：使得环量密度最大时面元的法向大小：该点最大的环量面密度。三.矢量场的旋度记作：0max)(rotnAn旋度是由矢量场派生出来的一个矢量场,也称旋度场.)(MA《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部152020年1月21日星期二旋度的意义旋度用于反映矢量场的漩涡源的分布情况方向：漩涡面方向大小：漩涡强度旋度为0，该点无漩涡旋度不为0，该点有漩涡如果矢量场处处旋度为0，则该矢量场为无旋场环量面密度等于旋度在面元法线方向的投影.rot0nAn《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部162020年1月21日星期二旋度和散度的区别：（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。（2）旋度描述场中各点的旋涡源强度；散度描述场中各点的通量源强度。（3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部172020年1月21日星期二直角坐标系中旋度可用表示为zyxAAAzyxkjiArot或用算符表示为.AArot《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部182020年1月21日星期二类似于用散度表示的高斯公式,现在可用旋度来表示斯托克斯公式:lSlASAdd)rot(其中为前述对于曲面S的面积元素向量.Sd把斯托克斯公式改写成对上式中的曲面积分应用中值定理,使得,MSlSlASnA0dd)rot(《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部192020年1月21日星期二在S上任取一点0.M0M0(),SM记作令S收缩到这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式.0,MM则同时有对上式取极限,得到lMSlASnArotSnA00d)(d)rot(*lMSMlAnArot0dlim)(00《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部202020年1月21日星期二综合起来就可以说:这同时指出了旋度的两个基本属性:(i)的方向是在点处环流密度最大0rot()AMA0M的方向;(ii)0|rot()|AM即为上述最大环流密度的数值.在上的投影.”0rot()AMn“矢量场在点处绕的环量密度等于旋度A0Mn《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部212020年1月21日星期二ozxyl设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则M),,(zyxr角速度为,r),,0,0(点M的线速度为rvvrotzyxkji00)0,,(xy0xykjizyx)2,0,0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部222020年1月21日星期二rot.AAA表示应用算符的旋度是旋度有如下一些基本性质:(),ABAB1.若是向量函数,则,AB()()()ABABBA(),ABBAAB()()()()().ABBAABBAAB()(),ABBA《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部232020年1月21日星期二()(),AAA2()()().AAAAA2.若是数量函数,是向量函数,则A()0,A0,这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证.《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部242020年1月21日星期二)(Arotdiv旋度的两个重要性质：1.旋度的散度恒等于零.0.)(A2.梯度的旋度恒等于零.)(gradurot.0)(u《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部252020年1月21日星期二证明33zzyyyrzr33531yyzzzzzzyryrr33531yyzzyyyyzrzrr330yzrrrr同理证3rr=030xrr《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部262020年1月21日星期二斯托克斯定理lSlASAdd)rot(同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域S中的场和包围区域S的闭合曲线l上的场之间的关系。因此，如果已知区域S中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界l上的场，反之亦然。lSlASAdd)(或者写为《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部272020年1月21日星期二)()()(xyzzxyyzxzyxkjiAArotkxyjzxiyz)()()(例2求矢量场在点M(1，0，1)处的旋度以及沿方向的环量面密度.kxyzjzxyiyzxA)()()(kjin362解《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部282020年1月21日星期二在点M(1，0，1)处的旋度.2kjiAMn方向的单位矢量kjikjin737672)362(3621222在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度7177327672nAMn《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部292020年1月21日星期二§4矢量场的环量及旋度例3求矢量场的旋度.kexjyzizxyAy2222sin解:kzxyyyzxjexxzxyzizzexyyyy)()sin()()()sin()(22222222yzyxexyzzxyzyxkjiAAAzyxkjiA2222sinkxyzjezyxiyzexyy2222)(2)sin2(《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部302020年1月21日星期二例4在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为)(4433kzjyixrqrrqE求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度.《场论初步》§2.4矢量场的环量及旋度华北科技学院基础部312020年1月21日星期二3334rzryrxzyxkjiqE解：