《概率论》第1章§15 条件概率全概率公式和贝叶斯公式

将一枚硬币连抛两次，则样本空间是如果我们已经知道试验结果中“至少出现了一次正面”,问此时{HH,HT,TH,TT}S记{}{}HT,THA一次正面一次反面,则1()2PA()PA记至少出现一次正面{}{HH,HT,TH}B从而由于已发生,故“样本空间”变为B{}HH,HT,THS()PA试验的所有可能结果BS两个概率含义不同，值也不相同(|)PAB23/4/4()()PABPB设是两个事件，且记,AB()0,PB()(|)()PABPABPB若则称()0,PA()(|)()PABPBAPA称为在事件发生的条件下事件发生的BA条件概率为发生的条件下发生的AB条件概率某个班级有学生40人，其中有共青团员15人。全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率为10/40=1/4.现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？(|)PB(|)0PAB对于任一事件有A对于必然事件有S(|)1PSB设是两两不相容事件列，则有{}kA11(|)(|)kkkkPABPAB设()0,PB有某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人。现从该厂中任选一名职工，求：（1）该职工为非熟练工人的概率是多少？（2）若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的动物活到25岁的概率？一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品的条件下，第二次取到的也是正品的概率是多少？由条件概率对称地有()(|)(()0)()PABPABPBPB可推得乘法定理(乘法公式)()(|)()PABPABPB()(|)()PABPBAPA(|)()(()0,()0)PABPBPAPB条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根据实际问题中的具体意义确定的在概率论发展初期，古典概型中的加法公式及乘法公式是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点()()()()PABPAPBPAB()(|)()PABPABPB一般地,若121()0,nPAAA则12121211()(|)()nnnnPAAAPAAAAPAAA1212112211(|)(|)(|)()nnnnPAAAAPAAAAPAAPA第一个袋中有黑、白球各2只,第二个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率.由乘法公式求得记第次取到白球{},(1,2)iAii则11214(),(|)27PAPAA12112()(|)()PAAPAAPA142277球队第轮被淘汰{},(1,2,3)iAii记31212(|)()PAAAPAA某球队要经过三轮比赛才能出线.该球队第一轮比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为0.7,第三轮比赛被淘汰的概率为0.9.求球队出线的概率.球队出线123{}()PPAAA312211(|)(|)()PAAAPAAPA(10.9)(10.7)(10.5)0.015则是不是所求概率？()iPA则所求概率为袋中有只红球、只白球，依次将球一个个从袋中取出.求第次取出红球的概率.11nk(1,2,,)kn11()kkkpPAAA1111(|)()kkkPAAAPAA11112211(|)(|)(|)()kkkkPAAAPAAAPAAPA(1)211(1)(2)1nknnnknknn1n是不是所求概率？()kPA记{},(1,2,,)kAkn第次取到红球k(1,2,,)kn有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个，其中，第一个盒子中7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个；试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球，则称试验成功。求试验成功的概率？如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和设为样本空间，若事件满足：S12,,,nBBB两两不相容，即12,,,nBBB(,,1,2,,)ijBBijijn12nBBBS则称为样本空间的一个分划12{,,,}nBBBSnB4B3B2B1BA将的计算分解到()PA12,,,nBBB上计算然后求和通常要求()0,1,2,,iPBin于是设为样本空间的一个分划，即S12{,,,}nBBB12nSBBB对任何事件有A12nAASABABAB12()()nPAPABABAB12()()()nPABPABPAB1122(|)()(|)()(|)()nnPABPBPABPBPABPB1()(|)()niiiPAPABPB袋中有a只红球b只白球,先从袋中任取一球,记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球1只,然后再从袋中取出一球.求第二次取到白球的概率.记第次取到白球{2}A1122()(|)()(|)()PAPABPBPABPB第次取到红球2{1}B1{1}B第次取到白球则是的一个分划12,BBS，由全概率公式有11babbab1babaabbab第二次取到白球的概率与第一次取到白球的概率相等，与前面放入什么颜色的球无关如果加入c个同色球有什么结果？有10个袋，其中甲袋二个,每袋中有红球、白球各2个;乙袋三个,每袋中有红球3个、白球2个;丙袋五个,每袋中有红球2个、白球3个.从十个袋中任取一袋,再从袋中任取一球,求取到白球的概率.记分别表示取到甲、乙、丙袋231,,BBB由全概率公式有取到白球{}A31()(|)()iiiPAPABPB2210432105531051325从甲、乙、丙袋取到白球的概率如果将三个袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数：0，1，2，3，4概率：0.1，0.2，0.4，0.2，0.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率？设为样本空间的一个分划，且12{,,,}nBBBS()0,()0(1,2,,)iPAPBin则由乘法公式有(|)()(|)()(1,2,,)iiiPBAPAPABPBin由全概率公式有1(|)()(|)(|)()iiinjjjPABPBPBAPABPB(1,2,,)in1()(|)()njjjPAPABPB由全概率公式有记取到次品{}A{},1,2,3iBi取到的产品是车间生产的i()PA0.020.150.010.800.030.050.012531(|)()jjjPABPB由Bayes公式有111(|)()(|)()PABPBPBAPA0.020.150.01250.2420.010.80(|)0.0125PBA0.6430.030.05(|)0.0125PBA0.12可见该次品是第二车间生产的可能性较大Bayes推断某工厂的一、二、三车间都生产同一产品,产量分别占总产量的三个车间的次品率分别为现从汇总起来的产品中任取一个，经检查是次品，问它是哪个车间生产的可能性较大？15%,80%,5%,2%,1%,3%.Bayes方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、检验、判别、推理等方面人物介绍贝叶斯假定为导致试验结果的21,,,nBBB“原因”称先验概率()(1,2,,)iPBin为若试验产生事件,则要探讨事件发生的“原因”A(|)(1,2,,)iPBAin称为后验概率(|)iPBA后验概率可以通过Bayes公式进行计算1(|)()(|)(1,2,,)(|)()iiinjjjPABPBPBAinPABPB后验概率反映了试验后对各种“原因”发生的可能性大小的推断先验概率反映了各种“原因”发生的可能性大小（在试验前是知道的）Bayes公式的重要意义在于利用人们掌握的先验知识来推断后验概率应用统计方法确定先验概率应用Bayes公式计算机可计算出后验概率应用医学知识确定假定为各种“疾病”21,,,nBBB()(1,2,,)iPBin(|)(1,2,,)iPABin对人进行观察与检查,可以确定某个指标如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等,A(|)(1,2,,)iPBAin对应于较大的“疾病”可提供给医生作进一步的临床诊断(|)iPBAiB由Bayes公式,此人真正患有癌症的概率为用某种诊断法诊断癌症,记判断被检验者患有癌症{}A被检验者患有癌症{}C(|)()(|)(|)()(|)()PACPCPCAPACPCPACPC已知(|)0.95,(|)0.90PACPAC现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可能性有多大？,又设人群中()0.0004PC0.950.00040.950.00040.10.99960.0038可见，虽然检验法相当可靠，但被诊断患有癌症而真正患有癌症的可能性并不大END习题：p55-5631、3２