第二章逻辑代数

第二章逻辑代数2.1逻辑代数2.2逻辑函数的卡诺图化简法教学基本要求1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则。2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法；2.1逻辑代数逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中是输入信号和输出信号的关系。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。1894年，英国数学家乔治.布尔提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法--布尔代数1938年，克劳德.香农将布尔代数用于继电器开关电路的设计，又称开关代数。随着数字电路的发展，布尔代数已成为数字逻辑电路分析和设计的数学基础，又称逻辑代数。在二值逻辑电路中广泛应用。逻辑代数（布尔代数、两值代数、开关代数）是用来研究数字电路中的输入、输出之间逻辑关系的工具。1、基本公式2.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式运算优先顺序：先括号，然后乘，最后加。2、基本公式的证明例证明ABABABAB，列出等式、右边的函数值的真值表(真值表证明法)01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BABABABAB2.1.2逻辑代数的基本规则1.代入规则：在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围例：BABADCBA则由此反演律能推广到n个变量：nnAAAAAA2121DCBAnAAA21nAAA21对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。2.反演规则：))((1)(DCBADCB)(AL0CDBAL例2.1.1试求的非函数解：按照反演规则，得EDCBAYEDCBAY反演LABAC任何逻辑函数式，若将其中的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。L()()LABAC例:逻辑函数的对偶式为3.对偶规则：EDCBAYEDCBAY对偶反演规则、对偶规则的意义：如果两个函数相等，则它们的反函数、对偶函数也相等。注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先括号，然后与，最后或运算，。多个变量上的非号应保持不变。))(()(CABABCAACABCBA对偶A）（）（对偶BABAABABABABABABA反演“或-与”表达式“与非-与非”表达式“与-或-非”表达式“或非－或非”表达式“与-或”表达式2.1.3逻辑函数的代数法化简DCACLDCAC=)DC)(CA()C+D()CA(DCCA1、逻辑函数的最简与-或表达式在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。与－或式——与非－与非式在原函数式上加两个非号，用摩根定理展开一个逻辑函数的化简1A2、逻辑函数的化简方法化简的主要方法：１．公式法（代数法）２．图解法（卡诺图法）代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。1AA并项法:CBACBALBA)CC(BA(1)乘积项的数目最少(2)每个乘积项中变量的个数也最少1AAABBA吸收法：A+AB=A消去法：BABAACABABCAB配项法：CA=ABBAFEBCDABAL)(CBAAB)(CBCAABLA+AB=A+BCBCAABLCBAACAAB)(CBACABCA=AB)()(BCACACABAB例：CDABFEDABCDAB)(被吸收DCBCADCBCAA被吸收CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB配项吸收常用恒等式CBBCBAABF)CBBC(BAAB）（反演CB)AA(BC)CC(BAAB配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收CB)BB(CAABCBCAAB)CC(DBADBA)DD(ABLDBADBA=AB)(DDBAABBAABBAABBAABCDBADCBAABDDBADABL例2.1.7已知逻辑函数表达式为（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：))BALABBA&&&&&CBACBACBACBACBACBABLCBA≥1≥1≥1ACCBA≥1≥1≥1CBACBAL例2.1.8试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：CBACBAL有关异或逻辑的定律0011010101110111?1...1111.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简无完善的方法可循，依赖于人的经验和灵活性；3.化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：练习：1.练习：2.n个变量X1,X2,…,Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。BAACBA、、A(B+C)等则不是最小项。例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23＝）8个，即CBACBACBABCACBACBACABABC、、、、、、、1.最小项的意义2.2.1最小项的定义及其性质2、最小项的性质与编号CBABCACBACBACBACABABCCBA三个变量的所有最小项的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小项：通常用mi表示最小项，m表示最小项,下标i为最小项号。ABC0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001CBABCACBACBACBACABABCCBACBABCACBACBACBACABABCCBA对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；性质2.2.2逻辑函数的最小项表达式(,,)()()LABCABCCABBC为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。例1将(,,)LABCABAC化成最小项表达式ABCABCABCABC=m7＋m6＋m3＋m1(7,631)m,,()LABCABCABCABCABC逻辑函数的最小项表达式：(,,)()LABCABABCAB例2将化成最小项表达式a.去掉非号()()LA,B,CABABCAB()ABABCAB()()ABABCABb.去括号ABCABCAB()ABCABCABCCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm2.2.3用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m6AB10100100011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m110001111000011110ABCD三变量卡诺图四变量卡诺图BABABAAB两变量卡诺图m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCABm0m1m2m3m4m5m6m7ADBB2、卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。3.已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例1：画出逻辑函数L(A,B,C,D)=m(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡诺图111110000011101110110100CD00011110ABL用卡诺图表示逻辑函数方法：找到逻辑函数所包含的最小项，然后在卡诺图上将这些最小项对应的位置处填1，其余部分填0。例：将逻辑函数DCABDBACBAY用卡诺图表示。解：首先将函数化成最小项之和的形式(,,,)()()()LABCDABCDABCDABCD()()ABCDABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例2画出下式的卡诺图10110100CD00011110ABL0000011111111111解1.将逻辑函数化为最小项表达式2.填写卡诺图),,,,(m15131060(,,)()()LABCABCCABBCABCABCABCABC=m7＋m6＋m3＋m1(7,631)m,,例1将(,,)LABCABAC化成最小项表达式0100011110三变量卡诺图BCAAB11112.2.4用卡诺图化简逻辑函数1、化简的依据DABDADBADBACDBADCBABDABCDADCBAm0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10ABCD0001111000011110ADABDDBADADDA（1）任何2个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。逻辑相邻可以化简卡诺图法化简的步骤逻辑表达式或真值表卡诺图)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,(mDCBAYCDAB0001111000001001011011111010101011CDAB00011110000010010110111110101010合并最小项①圈最大，每个圈中１的方格数必须为2n个。②一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则就是多余圈。③不能漏掉任何一个１的方格。最简与或表达式DCACDBDDCBAY),,,(ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项2233将代表每个圈的乘积项相加2、化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(4)将所有包围圈对应的乘积项相加。(1)将逻辑函数写成最小项表达式(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。(3)合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。画包围圈时应遵循的原则：（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。（2）一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（