第七章 卡方检验

第七章2检验2检验用途•单个频数分布的拟合优度检验•完全随机设计两组频数分布2检验•多组频数分布的2检验•配对设计下两组频数分布2检验**四格表的确切概率法2分布和拟合优度检验2分布2分布是一种连续型随机变量的概率分布。如果Z服从标准正态分布，那么Z2服从自由度为1的2分布,其概率密度在（0，＋∞）区间上表现为L型，如图7-1对应于自由度=1的曲线，取较小值的可能性较大，取较大值的可能性较小。0.00.10.20.30.403691215v=1v=4v=6v=92分布和拟合优度检验•图7-1,2分布的形状依赖于自由度ν的大小，当自由度ν＞2时，随着ν的增加，曲线逐渐趋于对称，当自由度ν趋于∞时，2分布逼近正态分布。各种自由度的2分布右侧尾部面积为α时的临界值记为列于附表8。2,2分布和拟合优度检验•拟合优度检验拟合优度检验是根据样本的频率分布检验其总体分布是否等于某给定的理论分布。拟合优度检验步骤：1．建立检验假设H0：总体分布等于给定的理论分布H1：总体分布不等于给定的理论分布2分布和拟合优度检验2．计算检验统计量实际观察到的频数用A表示，根据H0确定的理论频数用T表示，则大样本时统计量，自由度=K-1-（利用的参数个数）kiiiiTTA122)(TTA22)(2分布和拟合优度检验以上两个公式2检验的基本公式，所有其它形式的2检验公式都来源于此。2值反映了样本实际频数分布与理论总体分布的符合程度。如果原假设成立，2值不会太大；反之，A若与T差距大，2值也大；当2值超出一定范围时，就有理由认为原假设不成立。3．确定相应的概率P，作出推断结论2分布和拟合优度检验例7-1对表7-1所示数据作正态分布拟合优度检验。136例体模骨密度测量值的均数=1.260;标准差=0.010•检验的假设:H0：总体分布等于均数为1.260，标准差为0.010的正态分布H1：总体分布不等于该正态分布表7-1136例体模骨密度测量值频数分布表及拟合优度检验统计量的计算组段（1）实际频数A（2）Φ（X1）（3）Φ（X2）（4）P（X）（5）T=n×P（X）（6）（A—T）2/T（7）1.228―20.000690.004660.003970.54053.941431.234―20.004660.022750.018092.46010.086051.240―70.022750.080760.058017.88890.100161.246―170.080760.211860.1311017.82940.038591.252―250.211860.420740.2088828.40830.408921.258―370.420740.655420.2346831.91670.809611.264―250.655420.841340.1859225.28550.003221.270―160.841340.945200.1038614.12440.249061.276―40.945200.986100.040905.56180.438581.282―10.986100.997440.011351.54340.19130合计—————6.266922分布和拟合优度检验表7-1中第3列、第4列正态分布函数值可通过对作标准正态变换后查正态分布表或利用相应的SAS程序得到，第5列为第4列与第3列的差值，第6列理论频数T等于总例数136与各组段概率的乘积，第７列各数之和即检验统计量2值。2分布和拟合优度检验•计算统计量:•推断结论:自由度=10-1-2=7,查附表8,得到P0.50,可以认为该样本服从正态分布。35.627,50.022()6.27ATT计算TI时的参数有2个（均数和标准差）完全随机设计两组频数分布2检验•二分类情形——2×2列联表例7-2某医师研究用兰芩口服液与银黄口服液治疗慢性咽炎疗效有无差别，将病情相似的80名患者随机分成两组，分别用两种药物治疗，结果见表7-2。表7-2慢性咽炎两种药物疗效资料药物疗效合计有效无效兰芩口服液41(36.56)4(8.44)45（固定值）银黄口服液24(28.44)11(6.56)35（固定值）合计651580完全随机设计两组频数分布2检验•问题：这两个频数分布的总体分布是否相等？或者这两份样本是否来自同一个总体。因为这里是二分类变量，问两个总体分布是否相等就相当于问两个有效概率是否相等。完全随机设计两组频数分布2检验（1）建立检验假设H0：π1=π2两药的有效概率相同H1：π1≠π2两药有效概率不同检验水准=0.05（2）计算检验统计量TTA22)(完全随机设计两组频数分布2检验自由度=(2-1)(2-1)=1（3）确定p值查附表8，=1对应的临界值,P0.025。（4）结论:拒绝H0，两样本频率的差别具有统计学意义。可以认为，兰芩口服液和银黄口服液的总体有效概率不同，前者（91.1%）高于后者（68.6%）。565.656.6)56.611(44.28)44.2824(44.8)44.84(56.36)56.3641(2222完全随机设计两组频数分布2检验对于四格表资料，四格表专用公式))()()(()(22dbcadcbanbcad22(4111244)806.56545356515完全随机设计两组频数分布2检验•当n≥40时，如果有某个格子出现1≤T5，一般需用校正公式TTA22)5.0())()()(()2/|(|22dbcadcbannbcad完全随机设计两组频数分布2检验例7-3将病情相似的淋巴系肿瘤患者随机分成两组，分别做单纯化疗与复合化疗，两组的缓解率见表7-4，问两疗法的总体缓解率是否不同？（1）建立检验假设H0：π1=π2,,两法总体缓解概率相同H1：π1≠π2两法总体缓解概率不同检验水准=0.05完全随机设计两组频数分布2检验组别属性合计缓解率（%）缓解未缓解单纯化疗2(4.8)10(7.2)12（固定值）16.7复合化疗14(11.2)14(16.8)28（固定值）50.0合计16244040.0完全随机设计两组频数分布2检验2）计算检验统计量=(2-1)(2-1)=13)确定P值:P0.1，高于检验水准，不能拒绝H0，差别无统计学意义，尚不能认为两种治疗方案的总体缓解概率不同。624.28.16)5.0|8.1614(|2.11)5.0|2.1114(|2.7)5.0|2.710(|8.4)5.0|8.42(|22222完全随机设计两组频数分布2检验•特别注意:当四格表出现T1或n40时，校正2值也不恰当，这时必须用四格表的确切概率计算法（见本章第6节）。完全随机设计两组频数分布2检验•多分类的情形——2×C列联表定性变量具有多分类时,两个频数分布的数据可表示为一个2×C列联表。例7-4北京市1986年城市和农村20至40岁已婚妇女避孕方法情况如表7-5所示（据王绍贤等调查资料），试分析北京城市和农村采用不同避孕方法的总体分布是否有差别。表7-5北京城市和农村已婚妇女避孕方法情况地区避孕方法合计节育器服避孕药避孕套节育器其他城市1533316515340431农村320754332018518合计47310820847358949完全随机设计两组频数分布2检验（1）建立检验假设H0：北京城市和农村已婚妇女避孕方法的总体概率分布相同H1：北京城市和农村已婚妇女避孕方法的总体概率分布不同检验水准=0.05。完全随机设计两组频数分布2检验（2）计算检验统计量H0成立时，两组概率分布相同，均近似地等于合并计算的频率分布。)1(21122iCjjiijmnAn完全随机设计两组频数分布2检验=(2-1)(4-1)=3,查附表8P0.001，按=0.05水准拒绝H0。可以认为,北京城市和农村已婚妇女避孕方法的总体概率分布不同。据调查数据，城市使用男用避孕套的频率高于农村；宫内节育器是城市和农村的主要避孕方式，但农村使用宫内节育器的频率比城市高。22221533318847(...1)151.09943147339110845658完全随机设计多组频数分布2检验设有一个定性变量，具有Ｃ个可能的“取值”；现有R组独立样本的频数分布，其数据以表7-7的形式表示。这样的数据形式称为R×C列联表。)1(1122RiCjjiijmnAn完全随机设计多组频数分布2检验例7-5为研究某镇痛药的不同剂量镇痛效果是否有差别，研究人员在自愿的原则下，将条件相似的53名产妇随机分成三组,分别按三种不同剂量服用该药，镇痛效果如表7-8。表7-8某药不同剂量的镇痛效果剂量镇痛效果合计有效率(%)有效无效1.0mg3(7.36)12(7.64)15（固定值）20.002.5mg11(9.81)9(10.19)20（固定值）55.005.0mg12(8.83)6(9.17)18（固定值）66.67合计26275349.06完全随机设计多组频数分布2检验（1）建立检验假设H0：三种剂量镇痛有效的概率相同。H1：不同剂量镇痛有效的概率不全相同。检验水准取为=0.05按公式(7-13)计算2统计量完全随机设计多组频数分布2检验222222231211912653(1)7.584152615272026202718261827自由度=(3-1)(2-1)=2,查附表8，P＜0.025，按0.05水准，拒绝H0，差别有统计学意义。可以认为三种剂量镇痛有效的总体概率有差别。对于比较多组独立样本的2检验,拒绝H0只能说各组总体概率不全相同，即多组中至少有两组的有效概率是不同的，但并不是多组有效概率彼此之间均不相同。若要明确哪两组间不同，还需进一步作多组间的两两比较完全随机设计多组频数分布2检验不同剂量有效概率间的两两比较结果见表7-9对比组四格表2值P值检验水准修正值检验结果1.0mgvs.2.5mg4.380.0360.0083—1.0mgvs.5.0mg7.190.0070.0083*2.5mgvs.5.0mg0.540.4630.0083—配对设计下两组频数分布的2检验•二分类情形——2×2列联表例7-6设有28份咽喉涂抹标本，把每份标本一分为二，依同样的条件分别接种于甲、乙两种白喉杆菌培养基上，观察白喉杆菌的生长情况，结果如表7-10，问两种培养基上白喉杆菌的生长概率有无差别？采用McNemar检验表7-10两种培养基白喉杆菌生长情况甲培养基乙培养基阳性阴性合计阳性221840阴性21416合计243256（固定值）注：“阳性”表示生长，“阴性”表示不生长配对设计下两组频数分布的2检验H0：两种培养基上白喉杆菌生长的阳性概率相等H1：两种培养基上白喉杆菌生长的阳性概率不相等检验水准=0.05。若H0成立，白喉杆菌生长状况不一致的两个格子理论频数都应该是(b+c)／２。配对设计下两组频数分布的2检验由2检验基本公式（7-1）有化简后不难得到,2统计量的计算公式为2]2[2]2[222cbcbccbcbbcbcb22)(cbcb22)1|(|配对设计下两组频数分布的2检验因b+c40,P＜0.05，按α=0.05水准拒绝H0，差别有统计学意义，可以认为,两种培养基上白喉杆菌生长的阳性概率不相等。鉴于甲培养基阳性频率为40/56=71.4%，乙培养基为24/56=42.9%，可以认为,甲培养基阳性概率高于乙培养基。25.1120225218121822x配对设计下两组频数分布的2检验•多分类的情形——R×R列联表例7-7对150名冠心病患者用两种方法检查室壁收缩运动的情况，检测结果见表7-12。试比较两种方法