第5章 微波管大信号理论基础

1第五章微波管大信号理论基础2行波管的非线性理论主要分为两派三家：美国田炳耕诺埃(Rowe)前苏联：瓦因斯坦等效线路模型波导激励模型都在分析行波管中慢电磁行波与电子注相互作用的基础上，利用拉格朗日独立变量系建立自洽的微分工作方程组，同迭代的方法求出输出功率、输出效率、增益等参量随轴向位置的变化，具有计算机模拟时间短，精度高，物理过程清晰等优点。3§5.1空间电荷场的计算在微波管中，计算空间电荷场的方法大体有三种：(1)田炳耕等的圆盘模型法(2)Rowe的谐波展开法(3)瓦因斯坦等的正规模式展开法一、圆盘模型“圆盘模型”又称为“一维宏粒子模型”。采用宏粒子模型的原因：点电荷(微观粒子)碰撞时，近程力发散，宏粒子模型可以去除近程力，仅考虑远程力，因而可以描述超越现象。圆盘模型是将电子注在轴向上分成许多电子层，每一层像一个刚性圆盘，其中的电子没有横向和相对运动，每个电子的行为都是一致的，像一个刚体一样。每个圆盘看成一个“宏粒子”。4金属圆筒圆盘圆盘模型假设：(1)将电子注切成一个个无限薄的圆盘，且形状不随运动而改变；(2)在每个圆盘上均匀分布电荷；(3)运动过程中电荷量及其分布不变；(4)为了描述超越现象，设圆盘对圆盘来说是可以穿越的。5abzzz-zz(一)点对点由第二格林公式：SV22sdVGGVdVGGV(5.1.1)可知，在解位问题：0sV|02rrV(5.1.2)时，可化为解较简单的问题：0s|G02rrr,rG(5.1.3)将(5.1.2)和(5.1.3)代入(5.1.1)可得：6Vdrr,rGrV(5.1.4)G为格林函数。由上可知，格林函数可看成位于r'的单位点电荷r位置在所产生的位函数。只讨论圆轴结构，以一理想导体漂移管代替实际的慢波系统，设在漂移管内(r',j',z')有一单位点电荷，则其在任意点(r,j,z)产生的点位(即格林函数)可用该结构下的本征函数展开为：0m0nzzkcmnmmncmnecosmrkJAz,,rz,,r,Gjjjj(5.1.5)且0akJcmnm的根是μmn，即.akmncmn为了计算Amn，利用这样一个事实：在z=z'平面上，除(r',j',z')点外，其余各处都有әG/әz=0。所以根据(5.1.5)式，在z=z'平面有：70m0ncmnmmncmnzzcosmrkJAkzGjj(5.1.6)以jjcosprkJcpp乘上式，并在z=z'平面上积分：πacppzzrdrdprkJzG200cosjjj(5.1.7)πamncppmncmmnrdrdpmrkJrkJA200coscosjjjjj由Jm和cos函数乘积的正交性得：πacmnmzzmnmcmnmmnrdrdmrkJzGakaJπkδA200210cos2jjj(5.1.8)其中：00010m,m,δm(5.1.9)8另一方面，由单位点电荷发出的通量仅一半通过z平面，故由高斯定理有：020021εrdrdzGπazzj(5.1.10)同时，因已获得仅在(r',j',z')处әG/әz|z'≠0处，所以在әG/әz|z'不为0处，有Jm(kcmnr)=const.,cosm(j-j')=1,于是从(5.1.10)和(5.1.8)得：akJakπεrkJδAmncmncmnmmmnm2200122(5.1.11)将此代入(5.1.5)就得到格林函数的表达式：z,,r,z,r,Gjj(5.1.12)002020cos2211mnzzkcmncmncmnmcmnmmcmnmemakJKrkJrkJδaπεjj9因此，任何电荷分布的空间电荷位为：Vzddrdrrr,rGrVj(5.1.13)z,,r,z,r,Gjj(5.1.12)002020cos2211mnzzkcmncmncmnmcmnmmcmnmemakJKrkJrkJδaπεjj而空间电荷场为：rVrEs(5.1.14)(二)盘对点求电荷为Q，位于z=z'处的荷电圆盘在(r,j,z)处产生的空间电荷位。假设圆盘无限薄，而且圆盘的中心位于系统的轴线上，由于结构的轴对称性，可仅需考虑圆轴对称情形，即此时m=0,可将空间电荷位表示为：10bsπbssrdrGbQdrdrGπbQr,zV0220022j(5.1.15)12010010000nazzμnnnnneμJμabμJarμJbπεQ这就是位于z=z'处不计厚度的带电量为Q的圆盘在(r,z)点产生的空间电荷位。空间电荷场为：(5.1.16)1000100001)(,nazzμn2nnnscneμJμabμJarμJzzsignbaπεQzrE其中：(5.1.17)zzzz)zsign(z,1,1(三)盘对盘我们需要的是位于z=z处的圆盘感受到的“平均空间电荷场”，因此需要对(5.1.16)在受力圆盘平面内进行平均。11jrdrdr,zEπbzEπbscsc20021(5.1.16)120100120022nbzzabμnnnneμJμabμJ)zsign(zbπεQ(5.1.17)zzBQ其中：(5.1.19)1201001200221nbzzabμnnnneμJμabμJ)zsign(zbπεzzB计算结果表明，当|z-z'|-0时，B趋于一个常数,即彼此无限接近的荷电圆盘之间的空间电荷场趋于一个常数，所以前面假设的圆盘彼此可以穿透是可以接受的。这一性质可以这样理解，因为我们已经假设了圆盘上电荷是均匀分布的，而且在运动中其分布不变，所以当两个圆盘无限接近时，其间的电场相应于两无限大平面间的均匀场。12所有圆盘在z处产生的总空间电荷场为：(5.1.20)zdeμJμabμJ)zsign(zbπεzzEnbzzabμnnnscn120100120022根据电荷守恒有：(5.1.21)'dzρzdzρ000为电子注直流空间电荷线密度，可表示为：2200pωbηερ所以：(5.1.22)012010012pz220)dzsign(zeμJμabμJzEbzzabμnnnnscn13二、诺埃的方法假定电子注中的空间电荷沿轴向有一确定的分布，将电子注的交变密度按傅式级数展开，从而计算空间电荷场。将交变电荷密度按傅式级数展开有：(5.1.23)1ntjnωneρz,tρ这样，根据电场叠加原理，我们计算出每次谐波产生的场，然后将各次谐波产生的场叠加起来，就可得到交变电荷密度产生的总的空间电荷场。为了便于计算某次谐波电荷密度产生的场，假设：(1)各谐波分量都以电子注的直流速度沿z向前进(2)每一次谐波分量在空间的分布相同，具有如下形式：zj0n0nezρ14显然，这两个假设都与非线性状态的事实不符，在非线性状态下，显然电子注中的交变速度已不能忽略，而且各谐波分量的幅值在不同的位置应有不同的值。但是，由于对空间电荷场贡献最大的只是一个周期内的空间电荷，而且在每一个周期内的变化总是不大的，故这两个假设是可以被允许的。只讨论一维情况下，将某次电荷密度的轴向分布表为:(5.1.24)zj0ezρ0为复数振幅，为该次谐波的电子波传播常数，即=n/0.空间电荷位满足泊松方程：(5.1.25)z0202jβseAρbεzρr,zV此方程的解可表为：(5.1.26)zjβzjβsseβrBIβAρerVr,zV02015空间电荷场为：(5.1.27)zjβzseβrBIβAρjr,zE020对于电子注外的场，有方程：(5.1.28)02r,zVs可解得注外的电位为(5.1.29)zjβseβrDKβrICr,zV00注外电场为：(5.1.30)zjβzseβrDKβrICjβzrE00,利用r=a,r=b的边界条件有：(5.1.31)000βaDKβaCIbβDKbβCIbβBIβAρ00020βbDKβbCIβbBI11116解得：(5.1.32)βbKβaIβaKβbIβaIβbβAρB10010201βaIβaKβbβbIβAρC00120βbβbIβAρD120将系数代入(5.1.27)中，可得某次谐波电荷密度产生的空间电荷场为：(5.1.33)zjβzseβbKβaIβaKβbIβbβaIβrIβAρjr,zE10010001将各次谐波空间电荷场相加，即可得总的空间电荷场：(5.1.34)1nnjnnnnnnnnnzsebβKaβIaβKbβIbβaβIrβIβAρjE1001001式中：0z17(5.1.34)1nnjnnnnnnnnnzsebβKaβIaβKbβIbβaβIrβIβAρjE1001001然后将空间电荷密度展开成各次谐波:(5.1.35)tjnωnnezρz,tρ1(5.1.36)tdtzzρtjnωn20,1由电荷守恒定律，在一维情况下有：(5.1.37)idztzdzz,tρ00,故可得：(5.1.38)tddzdztzzρtjnωin02000,1iidttzdttzdzdz,00,0000tdtd0000,Itztz18所以：(5.1.37)idztzdzz,tρ00,(5.1.39),100zIz,ρi即有：(5.1.40)π''z,jnΦndz,υeπIzρ'200000jjj将其代入空间电荷得：1n100100nz1jEtjnωjnφnnnnnnnseebβKaβIaβKbβIbβaβIrβIβAπ''z,jnΦdz,υeπI'200000jjj(5.1.41)191n100100nz1jEtjnωjnφnnnnnnnseebβKaβIaβKbβIbβaβIrβIβAπ''z,jnΦdz,υeπI'200000jjj(5.1.41)令：bβKaβIaβKbβIaβIbβRnnnnnn10010212112sinRπnΦΦnΦΦFnz则在r=0的轴线上的空间电荷场有：j20'0'012200,12dzFCb