数据结构树和二叉树

第6章树和二叉树树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构。§6.1树的定义和基本术语定义定义：树(tree)是n(n≥0)个结点的有限集T，n=0时为空树,n0时：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)其余结点可分为m(m≥0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)，T1,T2,……Tm又称为森林。特点：非空树中至少有一个结点——根，只有根的树称为最小树树中各子树是互不相交的集合A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树抽象数据类型树的定义:P118~119基本术语结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(degree)——结点拥有的子树数叶子(leaf)——度为0的结点孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的双亲堂兄弟——双亲在同一层的结点互为堂兄弟兄弟(sibling)——同一双亲的孩子树的度——一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……深度(depth)——树中结点的最大层次数森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合有序树——各子树是从左到右依次有序且不能交换的树，否则为无序树。ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先§6.2二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒结构简单，存储效率高，运算简单基本形态A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二叉树性质性质1：)1(21iii个结点层上至多有在二叉树的第证明：用归纳法证明之i=1时，只有一个根结点，是对的假设对所有i=k命题成立，即第k层上至多有个结点又二叉树每个结点的度至多为2第k+1层上最大结点数是第k层的2倍，即故命题得证。12201i12k1(1)1222kk因此，第一层为20第二层为21第二层为22第四层为23性质2：深度为k的二叉树至多有个结点(k1)12k证明：由性质1，可得深度为k的二叉树最大结点数是122)(111kkikiii层的最大结点数第－１＝２21)21(222222４303210如深度为4的二叉树：性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1证明：设n1为二叉树T中度为1的结点数∵二叉树中所有结点的度均小于或等于2终端(度为0)结点数为n0，度为2的结点数为n2∴其结点总数n=n0+n1+n2又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个指针与其双亲相连。设指针数为b，则n=b+1(根结点无分支进入，需加入总数中)又∵分支由度为1和度为2的结点射出，b=n1+2n2于是，n=b+1=n1+2n2+1n1+2n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1两种特殊形式的二叉树满二叉树定义：二叉树个结点的二叉树称为满且有一棵深度为12kk特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中从左到右编号按1至n的结点一一对应时，称为完全二叉树。特点叶子结点只可能在最底两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则其左分支下子孙的最大层次必为L或L+11231145891213671014151231145891267101234567123456性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为证明：假设深度为k，则根据性质2和完全二叉树的定义有或于是∵k是整数∴完全二叉树中：深度为k的最少结点数1][log2n12121kknkkn221knk2log11][log2nk12k性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，(结点编号)有：(1)如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2(2)如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i(3)如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1§6.2.3二叉树的存储结构顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存储满二叉树和完全二叉树abcdefgabcde0000fg1234567891011链式存储结构二叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild;}JD;lchilddatarchildABCDEFG在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域ABCDEFG^^^^^^^^三叉链表的存储typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild,*parent;}JD;lchilddataparentrchildABCDEFGABCDEFG^^^^^^^^^讨论在二叉链表中，查找结点都要从根结点开始进行查找，查找的时间复杂度是结点的个数。而在三叉链表中查找结点实现就比较容易些，因为针对每个结点都可以进行上行查找或下行查找。§6.3遍历二叉树和线索二叉树树的遍历遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列常用方法先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n层的结点ABCDEFGHIJKLMNO先序遍历：后序遍历：层次遍历：ABEFIGCDHJKLNOMEIFGBCJKNOLMHDAABCDEFGHIJKLMNO二叉树的遍历方法(D——访问根，L——访问左子树，R——访问右子树)先序（根）遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序（根）遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序（根）遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点DLRDLR、LDR、LRDADBCDLRADLRDLRBDCDLR先序遍历序列：ABDC先序遍历:ADBCLDRBLDRLDRADCLDR中序遍历序列：BDAC中序遍历:ADBCLRDLRDLRDADCLRD后序遍历序列：DBCA后序遍历:B-+/a*b-efcd先序遍历：中序遍历：后序遍历：层次遍历：-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef例：已知二叉树先序序列：ABCDEFGHR,中序序列：BDCEAFHGR,请画出此二叉树。ABCDEFGHR算法递归算法voidpreorder(JD*bt){if(bt!=NULL){printf(%d\t,bt-data);preorder(bt-lchild);preorder(bt-rchild);}}主程序Pre(T)返回返回pre(TR);返回返回pre(TR);ACBDTBprintf(B);pre(TL);BTAprintf(A);pre(TL);ATDprintf(D);pre(TL);DTCprintf(C);pre(TL);C返回T左是空返回pre(TR);T左是空返回T右是空返回T左是空返回T右是空返回pre(TR);先序序列：ABDC非递归算法（中序遍历）P130~131类C算法ABCDEFGpiP-A(1)ABCDEFGpiP-AP-B(2)ABCDEFGpiP-AP-BP-C(3)p=NULLABCDEFGiP-AP-B访问：C(4)pABCDEFGiP-A访问：CB(5)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBp(6)ABCDEFGiP-AP-DP-E访问：CBp(7)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBEp(8)ABCDEFGiP-AP-DP-G访问：CBEP=NULL(9)ABCDEFGiP-A访问：CBEGDp(11)ABCDEFGiP-AP-F访问：CBEGDp(12)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBEGp(10)ABCDEFGiP-A访问：CBEGDFp=NULL(13)ABCDEFGi访问：CBEGDFAp(14)ABCDEFGi访问：CBEGDFAp=NULL(15)二叉树也可以从左到右按层次遍历P131遍历二叉树算法时间复杂度为O(n)n个结点访问一次，需访问n次空间复杂度也为O(n)访问时所需辅助空间是栈的最大容量，即树的深度，最坏情况容量为n。线索二叉树定义：前驱与后继：在二叉树的先序、中序或后序遍历序列中两个相邻的结点互称为~线索：指向前驱或后继结点的指针称为~线索二叉树：加上线索的二叉链表表示的二叉树叫~线索化：对二叉树按某种遍历次序使其变为线索二叉树的过程叫~实现在有n个结点的二叉链表中必定有n+1个空链域在线索二叉树的结点中增加两个标志域lt:若lt=0,lc域指向左孩子；若lt=1,lc域指向其前驱rt:若rt=0,rc域指向右孩子；若rt=1,rc域指向其后继结点定义：typedefstructnode{intdata;intlt,rt;structnode*lc,*rc;}JD;lcltdatartrcABCDEABDCET先序序列：ABCDE先序线索二叉树00001111^11ABCDEABDCET中序序列：BCAED中序线索二叉树00001111^11^ABCDEABDCET后序序列：CBEDA后序线索二叉树0000111111^§6.4树和森林6.4.1树的存储结构树的存储和线性表一样有顺序存储和链式存储。针对不同的树结构和不同的算法，常用的链式存储结构有：1、双亲表示法对树中n个结点按0~n-1编号，用一组连续的存储空间存储结点，每个结点包括数据元素的值和指向双亲结点的指针。2、多重链表表示法每个结点有多个孩子，对指向孩子的指针域个数可有：定长结点型：每个结点的指针域个数都为树的度缺点：存在多个空指针域，浪费空间。不定长结点型：每个结点的指针域个数为该结点的度，结点的域包括：数据域、指针域和存放该结点的度的域缺点：运算不方便。孩子链表法:把结点的孩子用单链表表示.带双亲的孩子链表法：P1373、孩子——兄弟链表示法每个结点有三个域：结点值、指向该结点第一个孩子的指针和指向该结点的下一个兄弟的指针。（P66图6.5）6.4.2森林与二叉树转换ACBED树ABCDE二叉树A^^BC^D^^E^A^^BC^D^^E^A^^BC^D^^E^对应将树转换成二叉树加线：在兄弟之间加一连线抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45°ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHI树转换成的二叉树其右子树一定为空将二叉树转换成树加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩