等腰三角形北师大版数学课件

从近几年的中考题看，等腰三角形的考查内容主要有以下特点：1.命题方式：立足双基，题目偏重于中档的计算或探索题.2.题型设置：形式灵活，各种题型均有涉及.3.命题热点：等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定.4.命题趋势：以等腰三角形为载体与旋转等知识相结合的探索题.等腰三角形是中考的重点，它是在研究全等三角形的基础上，从轴对称的角度进行的研究，它使学生分析与解决问题的能力得到进一步强化，它是学生综合能力得到提升的关键环节.复习的重点：一是熟练掌握等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，并灵活运用；二是加强基本图形的总结，如平行线与角平分线相结合会出现等腰三角形；三是注意在几何图形中渗透方程思想求角的度数.易混点：等腰三角形的三线合一，有些同学容易和三角形全等混淆，等边对等角的边角必须是同一个三角形的边与角.易错点：对于30°的角所对的直角边为斜边的一半，有些同学认为是“30°的角对的直角边为另一直角边的一半”.已知等腰三角形的一角的度数，求另外两角的度数，常有两种情况，需要分情况讨论.1.等腰三角形具有一般三角形的所有性质，等边三角形具有等腰三角形的所有性质.2.“三线合一”是等腰三角形的性质而非判定定理.3.“等角对等边”与“等边对等角”是指同一个三角形的边与角.4.从轴对称的角度认识等腰三角形.5.含30°角的直角三角形的性质实质是指：30°的角所对的直角边与斜边的关系.等腰三角形的性质与判定【例1】(2011·德州中考)如图,AB=AC,CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证:AD=AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系,并说明理由.【思路点拨】【自主解答】(1)在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AC=AB，∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)OA⊥BC.在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分线，又∵AB=AC，∴OA⊥BC.三线合一：1.前提条件是等腰三角形.2.运用“三线合一”时，已知其中的“一线”就可以推出另外“二线”.1.(2011·枣庄中考)如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是()(A)(2,0)(B)(4,0)(C)(-,0)(D)(3,0)【解析】选D.由等腰三角形的性质画图可得，当OA为底边时，点P可为(2,0)，当OA为腰时，点P可为(4,0)或(-,0).22222.(2011·扬州中考)已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.【解析】(1)∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.又∵BC=CB，∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.(2)点O在∠BAC的角平分线上.理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD=CE.又∵OB=OC，∴OD=OE，又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的角平分线上.“等边对等角”和“等角对等边”的区别与联系：(1)区别：前者是性质，后者是判定，它们是互逆关系.(2)联系：二者都反映了在同一个三角形中的边与角之间的一种对应关系.在同一个三角形中，由边相等可以推出边所对的角相等；反过来由角相等可以推出角所对的边也相等.等边三角形的性质与判定【例2】如图，△ABC是等边三角形，点E是AC上一点，∠1＝∠2，BE＝CD.请判断△ADE的形状，并说明理由.【思路点拨】【自主解答】△ADE是等边三角形.理由：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS).∴AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°.∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).ABAC12BECD.，，1.等边三角形的性质：(1)具有等腰三角形的所有性质.(2)每条边都相等，每个角都是60°.2.等边三角形的判定：(1)根据定义.(2)证三个角相等.(3)先判断等腰三角形，再证一个角为60°.3.(2010·临沂中考)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为()【解析】选D.过点D作DF⊥CE于点F，在Rt△BDF中，DF=BF=6，所以BD=A3B23C33D4323,43.4.(2010·衡阳中考)已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC=30°，∵CE＝CD，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD＝DE.1.等边三角形的各边相等，各角相等，所以常利用其证明三角形全等或线段及角相等.2.当出现等边三角形求角的度数时，要想到应用等边三角形的每个内角都等于60°.含30°角的直角三角形的性质【例3】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F，BF=2cm.求BC的长.【思路点拨】【自主解答】如图，连接AF.∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF垂直平分AB，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=90°，∴CF=2AF=2BF，∴BC=BF+CF=3BF，∵BF=2cm，∴BC=6cm.含30°角的直角三角形的性质：条件：(1)在直角三角形中.(2)存在30°的角.结论：30°角所对的直角边为斜边的一半.5.(2010·南通中考)如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是()【解析】选D.直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半.A1B2C3D26.(2010·玉林中考)两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C、C′间的距离是______.【解析】如图，连接CC′，AC′，则MC=MA=MC′=MA′，∴∠MCC′=∠MC′C,∠MA′C=∠MC′A,∴∠C′CA′=90°,又∠A′=30°，∴CC′==5.答案：5AC27.(2010·菏泽中考)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AD＝DB，在Rt△CBD中，CD＝5cm，∴BD＝10cm，∴BC＝5cm，∴AB＝2BC＝cm.1033利用“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个性质可解决线段的倍分问题.1.(2010·广安中考)等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是()(A)17(B)17或22(C)20(D)22【解析】选D.当等腰三角形的腰长为4，底边长为9时，因为4＋4＜9，所以此等腰三角形不存在；所以此等腰三角形的腰长为9，底边长为4，因此它的周长是22.2.(2010·武汉中考)如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是()(A)100°(B)80°(C)70°(D)50°【解析】选A.∵DA=DB=DC，∴∠DAB=∠DBA=20°，∠DCA=∠DAC=30°，∴∠ADB=180°-20°×2=140°,∠ADC=180°-30°×2=120°,∠BDC=360°-140°-120°=100°.3.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则∠BFD=______°.【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，∴△ABE≌△CAD.∴∠ABE=∠CAD，∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.答案：604.(2010·内江中考)如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H，试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.【解析】猜测AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB.∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB,∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD.5.如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点.(1)求证：AF⊥CD；(2)在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出两个(不要求证明).【解析】(1)连接AC，AD.在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED(SAS).∴AC=AD.∴△ACD为等腰三角形.又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD.(2)答案不惟一：可以从∠ABE=∠AEB、∠CBE=∠DEB、BE∥CD、AF⊥BE中选两个.ABAEABCAEDBCED，6.(2010·德州中考)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由.【解析】(1)∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE(AAS)，∴AB＝DC.(2)△OEF为等腰三角形.理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC.∴OE=OF.∴△OEF为等腰三角形.三角形复习策略分析三角形是最简单的多边形，是学习四边形和圆的必备知识，是中考的必考内容.各地在考查三角形的基础知识与基本技能的同时，突出对动手操作能力和创新意识的考查.一、考查内容这一讲内容可分为三大知识块：1.三角形边角关系.这部分内容考查的题型以选择题、填空题为主，难度小，复习时主要以基础知识和基本技能为主；2.全等三角形.这部分内容是复习的重点，首先是坚持“做中学”，通过做去理解掌握全等三角形的性质和基本的判别方法，全等三角形的基本图形，体会这些基本技能和基本的数学活动经验在解决问题过程中的作用.其次是注重分析问题和解决问题能力的培养，近几年中考中，在考查三角形问题的设计上由封闭趋于开放，突出数学思想方法，注重考查学生的基本数学活动经验.在有关三角形的证明问题中，既考查学生的演绎推理能力，又关注学生的合情推理能力.如丹东第25题，义乌第23题，台州第23题，眉山第25题等；3.等腰三角形.等腰三角形是特殊的三角形，本身具有很多特性，这也正好是中考命题者最为关注的地方，所以对于等腰三角形的复习要紧紧围绕等腰三角形的性质展开，进行一些必要的强化训练.二、通性通法1.转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用.2.运用变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决.3.构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形.4.分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是运用分析综合法去寻找证题的一种方法.