1.5 Fourier变换的应用

§1.5Fourier变换的应用1微分、积分方程的Fourier变换解法2*偏微分方程的Fourier变换解法对一个系统进行分析和研究，首先要知道该系统的数学模型，也就是要建立该系统特性的数学表达式。所谓线性系统，在许多场合下，它的数学模型可以用一个线性的微分方程、积分方程、微分积分方程（这三类方程统称为微分、积分方程）乃至于偏微分方程来描述，或者说凡是满足叠加原理的一类系统可称为线性系统。这一类系统无论是在振动力学、电工学、无线电技术、自动控制理论或其它学科及工程技术领域的研究中，都占有很重要的地位。本节将应用Fourier变换来求解这类线性方程。1微分、积分方程的Fourier变换解法象原函数(方程的解)象函数微分、积分方程取Fourier逆变换取Fourier变换象函数的代数方程解代数方程根据Fourier变换的线性性质、微分性质和积分性质，对欲求解的方程两端取Fourier变换，将其转化为象函数的代数方程，由这个代数方程求出象函数，然后再取Fourier逆变换就得出原来方程的解。这种解法的示意图如下。这是我们求解此类方程的主要方法。例1求积分方程的解，解因为该积分方程可以改写为则为的Fourier正弦逆变换，从而由正弦其中所以，由正弦逆变换公式变换公式可得，解下面还可以利用卷积定理来求解某些积分方程。例1求积分方程的解，其中例利用Fourier变换，解积分方程：解因为该积分方程可以改写为则为的Fourier正弦逆变换，从而由正弦，其中所以，由正弦逆变换公式变换公式可得，例利用Fourier变换，解积分方程：解，其中例利用Fourier变换，解积分方程：解因为该积分方程可以改写为则为的Fourier余弦逆变换，从而由余弦，其中所以，由余弦逆变换公式变换公式可得，例利用Fourier变换，解积分方程：解，其中由卷积定义知，积分方程右端第二项等于例2求解积分方程其中h(t)，f(t)为已知函数，且g(t)，h(t)和f(t)的Fourier变换都存在。()()ftgt解设因些上述积分方程两端取Fourier变换，由卷积定理可得例2求解积分方程其中h(t)，f(t)为已知函数，且g(t)，h(t)和f(t)的Fourier变换都存在。所以解由Fourier逆变换，可求得积分方程的解1()()d2jtgtGe1()d21()jtHeF利用Fourier变换的线性性质和微分性质，对上述微分方程两端取Fourier变换，可得例3求常系数非齐次线性微分方程的解，其中f(t)为已知函数。所以解设。()[()](j)[()]nnftftFF例3求常系数非齐次线性微分方程的解，其中f(t)为已知函数。解从而如果我们能够确定的Fourier逆变换，则y(t)可以通过卷积的形式给出。同附录中的公式(21)可知，与构成一个Fourier变换对，因此，由卷积定理，有例4求微分积分方程的解，其中t+,a，b，c均为常数。根据Fourier变换的微分性质和积分性质,且记解在方程两边取Fourier变换,可得例4求微分积分方程的解，其中t+,a，b，c均为常数。解而上式的Fourier逆变换为例求微分方程(t+)的解.解根据Fourier变换的微分性质,且记在方程两边取Fourier变换,可得所以，从而取其逆变换，得例求微分方程(t+)的解。解例求微分方程(t+)的解。解微分方程的解是通过上面四个例子，除例1是按Fourier正弦变换公式直接获得积分方程的解以外，其余三个例题的解法都是按示意图的三个步骤进行，还可得，这类线性方程的未知函数都是单变量函数。例如质点的位移，电路中的电流、电压等物理量一般都是时间t的函数。这些物理量的变化规律在数学上的表示就形成上述各类方程。但在自然界和工程技术领域中还有许多物理量不仅与时间t有关，还与空间位置(x,y,z)有关。例如一根细长杆上的温度分布问题和声波在介质中传播的问题等，研究这些物理量的变化规律就会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式，即称之为偏微分方程或数学物理方程；还要说明的是，如果要确定一个物理模型中某一物理量的具体的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件，因为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律，而实际中提出的物理模型都有特定的“环境”和“初始状态”，这在数学上就称为边界条件和初始条件，它们统称为定解条件。对于一个具体的物理模型来说，方程加上定解条件才是问题的完整提法，且称之为定解问题。方程加上初始条件构成的定解问题称为初值问题；方程加上边界条件构成的定解问题称为边值问题；而既有初始条件又有边界条件的定解问题又称为混合问题。关于定解问题的提法及其适定性问题在偏微分方程理论中有详细的论述，有兴趣的读者可参看有关书籍。