1.5(全概率公式和贝叶斯公式)

1.5全概率公式和贝叶斯公式1.5.1全概率公式引例：有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率？？？第1章概率论基础定理1.2设试验E的样本空间为,A1,A2,…,An为E的一组事件，且满足：(1)A1,A2,…,An两两互不相容，i=1,2,…,n；(2)则对任一事件B，有(1.7)(1.7)称为全概率公式．称满足(1)和(2)的A1，A2，…，An为完备事件组或样本空间的一个划分．iniA1)()()(1iniiABPAPBP,0)(iAP1A2A3A1nAnA1.5.1全概率公式证明：因为由于A1，A2，…，An两两互不相容，由有限可加性由假设及乘法公式得到利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完备事件组A1，A2，…，An;寻求完备事件组A1，A2，…，An相当于找导致事件B发生的所有互不相容的事件．BB))(()(1iniBAPBP).()()()(11iniiniiABPAPBAPBP)(1iniAB)(1iniBAniiBAP1)(1.5.1全概率公式有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.解记Ai={取到的是i号罐}i=1,2,3;B={取得红球}A1,A2,A3的发生都会导致B发生，A1,A2,A3构成完备事件组．代入数据计算得：P(B)≈0.639.31)|()()(iiiABPAPBP由全概率公式得123再看引例１依题意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,31.5.1全概率公式【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)两次取出的零件均为一等品的概率．解:设Ai=“任取的一箱为第i箱零件”，i=1,2,3，Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2．由题意知A1、A2和A3构成完备事件组，且31)()()(321APAPAP1.5.1全概率公式(1)由全概率公式得)|(11ABP)|(21ABP6.04024)()()(1311iiiABPAPBP,4.050204.03012)|(31ABP.467.0)6.04.04.0(311.5.1全概率公式(2)因为由全概率公式得)|(121ABBP)|(221ABBP)|(321ABBP22.0)3538.01517.01551.0(311551.0250220CC1517.0230212CC3538.0240224CC)()()(213121iiiABBPAPBBP1.5.1全概率公式引例２：某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.213这是“已知结果求原因”的问题．是求一个条件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯)公式1.5.1全概率公式1.5.2贝叶斯公式定理1.3设试验E的样本空间为，B为E的事件，A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B)0，P(Ai)0，i=1，2，…，n，则(1.8)(1.8)式称为贝叶斯公式．niABPAPABPAPBAPiniiiii,,2,1,)()()()()(1niABPAPABPAPBAPiniiiii,,2,1,)()()()()(11.5全概率公式和贝叶斯公式证明)()()(BPBAPABPii,)()()()(1njjjiiAPABPAPABP.,,2,1ni该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.由条件概率公式、乘法公式及全概率公式知：1.5.2贝叶斯公式某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.再看引例２解记Ａi={取到第i号罐}i=1,2,3;Ｂ={取得红球}Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．31111)|()()()|()|(iiiABPAPAPABPBAP由贝叶斯公式得代入数据计算得：213其中P(Ｂ|Ａ1)=2/3,P(Ｂ|Ａ2)=3/4,P(Ｂ|Ａ3)=1/2,P(Ａi)=1/3,i=1,2,3．348.0)|(1BAP1.5.2贝叶斯公式特别有：设事件A、B为试验E的两事件，由于A和是一个完备事件组，若P(A)0，，P(B)0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为A0)(AP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP1.5.2贝叶斯公式【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率．1.5.2贝叶斯公式解：设B=“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai=“抽到的一箱中有i件残次品”，i=0,1,2．(1)事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。显然A0，A1，A2是完备事件组．由题意知由全概率公式得1.0)(,1.0)(,8.0)(210APAPAP)(0ABP)(BP,1420420CC)(1ABP,54420419CC)(2ABP1912420418CC94.0)()()()()()(221100ABPAPABPAPABPAP1.5.2贝叶斯公式(2)由贝叶斯公式)(0BAP)()()(00BPABPAP85.094.018.01.5.2贝叶斯公式【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95．对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎．现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？1.5.2贝叶斯公式解:设A=“某人确有肝炎”，B=“某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有从而由贝叶斯公式，有95.0)(ABP,95.0)(ABP005.0)(AP995.0)(1)(APAP05.0)(1)(ABPABP)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP087.005.0995.095.0005.095.0005.01.5.2贝叶斯公式本题的结果表明，虽然这两个概率都很高．但是，即试验阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这一点，将和搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果．,95.0)(ABP95.0)(ABP)(ABP)(BAP1.5.2贝叶斯公式在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i=1，2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在这种信息下考察Ai的概率它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率．niBAPi,...,2,1),|(1.5.2贝叶斯公式贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用．ThomasBayesBorn:1702inLondon,EnglandDied:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England1.5.2贝叶斯公式☺课堂练习有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率0.005，已知产品的次品率为４％，若一产品经检验被认为是次品，求它确为次品的概率．解品产品经检验被认为是次设A产品确为次品B由贝叶斯公式，所求概率为,04.0)(BP,96.0)(BP,.0)|(BAP,005.0)|(BAP由题设知)|(ABP.......)()|()()|()()|(BPBAPBPBAPBPBAP1.5.2贝叶斯公式