1.5.2平行关系的性质

前面我们知道了如何来判断直线与平面平行，那么，已知直线和平面平行，我们又能有怎样的结论呢？探究1:如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？aαbaαb异面平行探究2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？aαb有无数条，这些直线之间互相平行.探究3:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？αaαa平行相交探究4:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？平行.因为a∥α,所以a和α没有公共点.又因为b在α内，所以b和α也没有公共点.而a和b都在平面β内，又没有公共点，所以a∥b.αabβ探究5:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.定理5.3：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.αabβ上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？//,,//aababαabβ直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？提供了作平行线的方法，并且是判断线线平行的依据.αabβ思考交流直线和平面平行的判定定理:直线与直线平行直线与平面平行直线和平面平行的性质定理.注意:平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．思考：有一块木料，棱BC平行于面A1C1要经过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料，应该怎样画线？这线与平面AC有怎样的关系？PA1DABB1D1C1CEF例1如图A,B,C,D在同一平面内，AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别交于点C,D求证:AC=BD.证明连接CD.因为A,B,C,D在同一平面内，AB∥平面α，ADCB所以AB∥CD.又因为AC∥BD,所以四边形ABCD是平行四边形因此AC=BD.α例2.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,过直线EF作平面α,分别交BD、CD于M、N,求证：EF∥MN.FEDCBANMMNEFMNBCDMNEFBCDEFBCDBCBCEFACABFE//////,,得：所以由线面平行的性质平面且，又因为平面所以平面又因为所以的中点，分别是证明：因为例3如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.解如右图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO.又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.又∵MO平面BDM，PA平面BDM，∴PA∥平面BDM.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴MO∥PA.HO已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，画出过G和AP的平面。ACBDGPM变式练习：1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（）A只和这个平面内一条直线平行；B只和这个平面内两条相交直线不相交；C和这个平面内的任意直线都平行；D和这个平面内的任意直线都不相交。D2．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为()A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，aα，则a∥βC．若α∥β，aα，bβ，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥bB【解析】A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，aα，则a与β无公共点，∴a∥β.3．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线D【解析】因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．C【解析】A中n与α可能相交，B中n与α可能平行，D中m、n可能相交，C中m即m、n所在平面与α的交线．4．对于直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是()A．如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n5、如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α.证明过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.因为a//b,所以,b//c.又因为c⊂α,bα,所以b//α.因为a//α,a⊂β,α∩β=c,所以a//c.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.线线平行线面平行线面平行线线平行线面平行的判定定理线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.第二课时回想一下，平面与平面平行的判定定理是什么？平面与平面平行的判定定理解决了平面与平面平行的条件问题，反之，在平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？探究1:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？a结论:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.探究2:如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.探究3:若，直线l与平面α相交，那么直线l与平面β的位置关系如何？//βαl结论：相交探究4:若α∥β，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？abαβγ平行.由于两条交线a,b分别在两个平行平面α，β内，所以a与b不相交.又因为a,b都在同一平面γ内，由平行线的定义可知a∥b.探究5:综上分析，在平面与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.abαβγ定理5.4如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.上述定理通常称为平面与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？abαβγ//,aba//b想一想:平面与平面平行的性质定理可简述为“面面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？abαβγ功能作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.直线与直线平行结论:1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线平行于另一个平面；2、平行于同一平面的两平面平行；3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行；4、夹在两平行平面间的平行线段相等.直线与平面平行线面平行性质定理面面平行判定定理平面与平面平行面面平行性质定理线面平行判断定理四个平行定理的关系：例1.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证:AB=CD.证明因为AB//CD,所以过AB,CD可作平面γ,且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α//β,所以BD//AC.因此,四边形ABDC是平行四边形.所以AB=CD.例2如图，平面α，β，γ两两平行，且直线l与α，β，γ分别交于点A,B,C,直线m与α，β，γ分别交于点D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长.解当直线m与l共面时，该平面与α，β，γ分别交于直线AD,BE,CF,因为α，β，γ两两平行，所以AD∥BE∥CF,故ABDE.BCEF=当直线m与l不共面时，连接DC.设DC与β相交于点G,则平面ACD与α，β分别相交于直线AD,BG,平面DCF与β，γ分别交于直线GE,CF.因为α，β，γ两两平行，所以BG∥AD,GE∥CF.因此ABDGDGDE.BCGCGCEF==，所以又因为AB=6,BC=2,EF=3,所以,DE=9.ABDE.BCEF=1、设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面；B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面；C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面；D．不论A、B如何移动都共面.D2．过长方体ABCD－A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．【解析】如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括MN).123．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、F为棱B1C1，C1D1和B1B的中点，试过E、M作一平面与平面A1FC平行．解如图，取CC1中点G，连接B1G，取C1G中点H，连接EH.则EH∥B1G∥FC.同理，连接MH.则MH∥A1F.连接EM，又MH∩EH=H，∴面EMH∥面A1FC，即面EHM为所求平面．如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.线线平行面面平行面面平行线线平行面面平行的判定定理面面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.1、如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D是α上的点，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.αaACBDEGF练习：2、点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面平行于直线VB和AC。VACBPFEGH练习：3、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，CD=34，求SC。αβADCBSαβCBSAD