10-Fourier变换及其应用

1《偏微分方程教程》第七章Fourier变换及其应用2§1Fourier变化及其性质【知识点提示】Fourier变换的定义与性质及其逆变换。【重、难点提示】求解函数的Fourier变换及其逆变换，特别是逆变换。【教学目的】熟练掌握Fourier变换的定义和性质，能熟练地求解某些特殊函数的Fourier变换及其逆变换。3Fourier变换在线性偏微分方程,特别是常系数线性偏微分方程的研究中十分重要.它对求解各种数学物理方程具有普遍意义.这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本知识及其运算性质.最后利用Fourier变换及其逆变换求解某些典型数学物理方程的定解问题.4在学习常微分方程的求解时,我们介绍过Laplace变换,它将一个常系数的线性常微分方程的求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施Laplace变换的逆运算.那么是否有其它形式的积分变换,能将常系数的线性偏微分方程,特别是三类典型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我们下面将要介绍的Fourier变换。51.1．Fourier变换定义7.1若,则对任意的,积分有意义,我们称它为的Fourier变换,或记为定理7.1(Fourier积分定理)若,则1ˆ()()2ixfxedxf1ˆlim()()2NixNNfedfx(1.1)(1.2)11()()()fxLC1()()fxL6证：由于,因此含参变量的积分对一致收敛,且为的连续函数.从而有1()()fxL()ixfxedx()12311ˆ()()221sin()()1sin()1NNixixNNMMMMfedfdedNxfdxNfxdJJJ(1.3)7N(123)iJi现在分别讨论当时的极限.易知同理可证另一方面,我们有其中是的连续函数11sin1()()MNJfxdfxdxM31()JfxdxM21()()()sinsin1()sin()sinMMMMMMNMMNfxfxfxNJNddfxgxNdd10()()gxfxdx(1.4)(1.5)800M0MM1344JJMN现在任给,首先取足够大，使得当时,.其次再固定,取充分大,由黎曼-勒贝格(Riemann-Lebesgue)引理,有1()sin4MMgxNdsinxxdxN此外,当()sin()4MNMNfxdfx将它们代入(1.3)立即可得当0NN时1ˆ()()2NixNfedfx定理证毕.9公式(1.2)称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定义的变换称为Fourier逆变换,记为ˆ(())f因此(1.2)亦可写成,ˆ()ff即一个属于11()()LC的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier逆变换,就回到这个函数本身．注:在以后应用Fourier变换的反演公式求解问题时,我们先不必深究上述定理的条件是否满足,而是直接应用它导出问题的形式解,然后再通过直接验证,以确定这个形式解就是“真解”.101()()()fxgxL12性质7.1(线性性质)若,则对任意常数1212ˆˆ()fgfg1()()fxL性质7.2(平移性质)若，则对任意常数a,有ˆ(())()iafxaef(1.6)(1.7)1.2.基本性质在运用Fourier变换求解定解问题之前,我们先介绍Fourier变换的一些基本性质.，有11性质7.3(对称性质)若1()()fxL,则(1.8)ˆ(())()fxf以上三条性质的证明均可由Fourier变换及其逆变换的定义直接推出.请读者自己完成.性质7.4(微商性质)若1()()()()fxfxLC,则ˆdfifdx(1.9)12证:由假设1()()()()fxfxLC知lim()0xfx事实上,由()()fxC,则0()(0)()xfxfftdt因为1()()fxL,故有0lim()(0)()xfxafftdt(1.10)1()()fxL0a又因,由反证法亦知,即(1.10)成立.由(1.10),利用分部积分公式,有1()21ˆ()()2ixixdffxedxdxifxedxif13推论7.1若()1()()()()mfxfxLC则ˆ()()1mmmdfifmdx(1.11)，注：这个性质表明微商运算经Fourier变换后转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可把常系数的常微分方程简化为函数方程,也可把偏微分方程简化为常微分方程.正由于这个原因,Fourier变换成为解常系数线性偏微分方程的重要工具.14性质7.5(乘多项式)若1()()()fxxfxL,则ˆ(())()dxfxifd1()()()fxxfxLˆ()f证：由于,故的连续可微是1ˆ()()()(())2ixdffxixedxixfxd由此即知(1.12)成立.(1.12)函数,且有15推论7.2若1()()()mfxxfxL,则ˆ(())()1mmmmdxfxifmd(1.13)性质7.6(伸缩性质)若1()()fxL,为非零常数,则k1ˆ(())fkxfkk(1.14)16证：不失一般性,设0k.由定义7.1,有1(())()211()211()21ykkixiiyfkxfkxedxfyedykfyedykfkk17性质7.7(卷积性质)若1()()()fxgxL,则1()()()()()fgxfxygydyL且有ˆˆ()2fgfg证：由富比尼(Fubini)定理,有111()()()()()()()()LLLfgxdxfxygydydxfxygydygydyfxydxgf故1()fgL(1.15)(1.16)18()1()()()21()()2ˆˆ2()()ixiyixyfgedxfxygydygyedyfxyedxgf再由Fubini定理12()()()fxLL222ˆLLLfff性质7.8(Plancherel定理)设,则(1.17)191.3.几个例子下面我们通过几个例子说明如何利用Fourier变换的定义及基本性质来求一些具体函数的Fourier变换.例1设11()0xAfxxA求1ˆ()f.例2设20()00xexfxx求2ˆ()f...20解：由定义7.1,知(1)20111ˆ()122ixfedxi3()xfxe3ˆ()f例3设,求解：由于322()()()fxfxfx由性质7.1,性质7.6可得322222ˆˆˆˆ()()(())()()1111211122fffxffii24()xfxe例4求高斯(Gauss)函数的Fourier变换.2122211242211424()()1ˆ()21212xixxixifeedxeedxeedx212()xiedx1,R2R对积分应用Cauchy定理改变积分路径,,则有2122()xixedxedx解：由定义7.1,得(如图7-1),并令22图7-1于是可得21441()2fe23例5设25()(0)AxfxeA,求5ˆ()f解：由性质7.6,有2454411ˆˆ()()2AffAxfeAAA241.4.高维空间的Fourier变换为了求解高维空间的常系数线性偏微分方程,我们还需介绍高维空间的Fourier变换.定义7.2设11()()nnfxxLR,那么积分112()1111ˆ()()(2)nnnixxnnnfxxedxdxf有意义,称为的Fourier变换,记为1ˆ()nf1()nfxx.25定理7.2若111()()()nnnfxxCLRR,则有11()111121ˆˆ(())lim()()(2)nnNNixxnnnnnNNNffeddfxx其中1ˆ(())nf表示函数1ˆ()nf的Fourier逆变换.容易证明关于一维Fourier变换的性质7.1-7.7,对于高维Fourier变换仍然成立.此外，根据Fourier变换的定义7.2,我们还有下面的结论:2611122()()()()nnnfxxfxfxfx1()()iifxL11ˆˆ()()nniiiff性质7.9若,其中则有221()1()(0)nAxxnfxxeA1ˆ()nf例6求函数的Fourier变换.解：利用性质7.9及例5的结果,有224221111111ˆ()exp42(2)iiAnnnnAxniiiifeeAAA(1.18),