第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波

8.1位移电流由库仑定律和场的叠加原理可得出关于静电场的两条重要定理：（1）电场的高斯定理0()SDdSq（2）静电场的环路定理()0LEdl由毕奥—萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理：（3）磁场的高斯定理0()LHdlI()0SBdS（4）安培环路定理（5）法拉第电磁感应定律ddt麦克斯韦在前人工作的基础上，全面系统地考察了这些规律，并试图把这些规律推广到非稳恒的情况。正如第五章所提到的那样，麦克斯韦首先把电场的环路定理加以推广。他认为感生电动势现象实际上预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此电场的环路定理在普遍情况下应是：()()LSBEdldSt静电场的环路定理不过是其特例而已。对于电场的高斯定理和磁场的高斯定理，当推广到普遍情况时，则没有发现不合理之处，麦克斯韦假定它们对于变化的电场仍然使用。但是，将安培环路定理推广到一般情况时，麦克斯韦遇到了困难。典型的例子是电容器放电的情况。我们取一环路L，而和都是以L为周界的曲面。对于曲面它与导线相交，因此2S1S1S100()SjdSI但是对于曲面，它穿过电容器两极板之间，故有2S20()0SjdS这就是说，对同一个闭合回路L，的值不定，这表示非稳恒情况下，我们在前面写出来的安培环路定理不再适用。如果再与稳恒情况相比，我们很容易看出，通过以L为周界的任一曲面上的电流强度是相等的，因为根据电流的稳恒条件，对于由构成的闭合曲面Hdl12,SS210()00()()0SSSjdSjdSjdS综合以上分析可以看出稳恒情况下安培环路定理成立是因为此时电流是连续的；而在电容的例子中安培环路定理之所以引出矛盾的结果，其根源在于传导电流在电容器极板间的中断，即在非稳恒的情况下传导电流具有不连续性。对于非稳恒情况，电流的稳恒条件虽不成立，但是根据电荷守恒定律：00()SdqjdSdt而0()SqDdS0()()SSDjdSdSt0()0SDjdSt因此可得出因为是对同一闭合曲面求积分，移项后得由上式可知，在非稳恒情况下传导电流不连续。但是这个量永远是连续的，只要边界L相同，它在不同曲面上的面积分相等。0Djt12,SS令()DSDdS()DSdDdSdttDddt代表通过某一曲面的电位移通量则有麦克斯韦把这个量叫做位移电流，是位移电流密度。Dt传导电流与位移电流合在一起称为全电流。全电流在任何情况下都是连续的。00IjdS麦克斯韦还假定在产生磁效应上，位移电流与传导电流等效。在非稳恒情况下，磁场环路定理右面应由代替，即：Dddt0I0I0DdIdt0()DLdHdlIdt或者写成0()()LSDHdljdSt这里S是以L为周界的任意界面。以上便是麦克斯韦的位移电流假说。(1)在电介质中位移电流为0DEP0DdDEPdSdSdSdttttpql在上式中，第二项是极化强度矢量的时间变化率。如果单位体积的介质中有n个偶极子，每一个偶极子为，那么当场强变化时，偶极子间的距离也将随之改变，所以Plnqnqvtt式中v是束缚电荷规则运动引起的，由此可知正是极化电流密度。Pt(2)(2)式右端第一项是与电场的时间变化率相联系的，在真空中，在位移电流中就只剩这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分，但是，它与“电荷的流动”无关，它仅仅是变化着的电场。Et0,0PPt如果把(1)式应用于没有传导电流的情形中，则得()()LSDHdldSt它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能激发涡旋磁场。8.2麦克斯韦方程组麦克斯韦在引入涡旋电场和位移电流两个重要概念之后得到了在普遍情况下电磁场必须满足的方程组一般情况下，式中有关各量是空间坐标和时间的函数这便是麦克斯韦方程组的积分形式，在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。0()()()()0()()0SLSSLSDdSqBEdldStBdSDHdlIdSt首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，电荷的体密度为，则高斯定理即可写成0e0()()eSVDdSdV0()()eVVDdVdV式中V是高斯面S所包围的体积利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积分化为体积分：上式对任何体积都成立，被积函数本身应处处相等，故有0eD这就是高斯定理的微分形式。同样可得磁场中的高斯定理的微分形式0B对于安培环路定理，我们也假定电流是体分布的，其密度为则有：0()()()LSDHdljdSt0()()()SSDHdSjdSt0DHjt利用斯托克斯定理，把上式左端的线积分化为面积分：因为上式中积分范围可以任意，被积函数必须相等，故得0j对于麦克斯韦方程组积分形式的第二个方程，也可以进行类似以上的处理，最后我们得到如下四式：000eDBEtBDHjt以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯韦方程组，大都是指它的微分形式。散度旋度(ⅰ)将麦克斯韦方程组再加上三个物质性质的方程就构成了一组完整的说明电磁场性质的方程组，对于各向同性介质来说这三个方程：000rrDEBHjE(ⅱ)(ⅰ)和(ⅱ)式是宏观电动力学的基本方程组，应用以上方程，加上场量应满足的边界条件以及它们的起始条件，就可以定量地得出有关电磁场问题的解。8.3电磁波由麦克斯韦方程组可以看出，变化的磁场激发涡旋电场，变化的电场（位移电流）激发涡旋磁场。因此空间某一区域存在一变化电场，它将在周围空间产生变化磁场，这变化磁场又在较远处产生一变化电场，这样变化的电场和磁场相互激发，闭合的电力线与磁力线就像链条那样一环套一环，由近及远向外传播，从而形成电磁波。需要媒介电磁波不1.电磁波2.电磁波的产生（1）偶极振子要产生一个电磁波必须有一个电磁振荡器。在第五章中我们讨论过的LCR电路中的电容器充电后，电荷满足微分方程：220dqdqqLRdtdtC00cos()tqqet2RL在电阻R较小时，它的解具有阻尼振荡的形式：这里01LC00122fLC当把LCR电路接在电子管或者晶体管上组成振荡器之后，由直流电源不断补充能量，就可以产生持续的电磁振荡。对于这种电路，由于电场和电能都集中在电容元件中，磁场和磁能都集中在自感线圈中，而且振荡的频率不够高，难于有效地把能量发射出去。产生电磁波的条件：（1）电磁场尽量分布于整个空间（2）增大0f按图中a、b、c、d顺序改造LC振荡电路，使电容器的极板面积越来越小，间隔越来越大，同时使自感线圈的匝数越来越少，固有振荡频率越来越大；另外，电路也越来越开放，使电场和磁场分布于空间中去。最后振荡电路逐步演化为一根直导线（d），电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷。这样的电路叫做振荡偶极子（偶极振子），可以有效地向外发射电磁波。广播电台或者电视的天线都可以看做这类偶极振子。bacd(2)赫兹实验图a是赫兹的实验装置，当充电到一定程度后，间隙间产生火花放电，振子间就有来回的振荡电流通过，经过多次振荡后振幅逐渐减小。这种振子的振荡频率很高，当火花接通的瞬间，振荡已经进行了几百万次，振动已衰减得非常之小了。感应圈以10——100Hz的频率对振子充电，从而造就一种间歇性的阻尼振荡（图b）。ab振子发射出来的电磁波可以用谐振器接受，如图a中的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙间的距离可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距振子一定的距离之外，适当地选择其方位，赫兹观察到发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙也有火花跳过。赫兹的实验证明了电磁波确能在空间中传播。赫兹利用这种实验装置还观察到了电磁波与金属面反射回来的电磁波叠加而产生的驻波现象，并测定了波长，证明了这种电磁波与光波一样具有偏振特性，能产生折射、反射、干涉、衍射等现象。赫兹不但令人信服的证明了电磁波的存在，而且初步证实了光波本质上也是电磁波。8.4偶极振子发射的电磁波下图是一谐振子，假定振子中的电流做正弦变化并设：00()sin(90)itIt00()()sinsinIqtitdttKqtK0(sin)pqlqtl则在两端积累的电荷q为式中K为积分常数。在非稳恒情况下可以不考虑与时间无关的常量，因此可以令K=0。这样电偶极矩为ll()itr0r00qq图1如果坐标系如图1所示，可以分两个区域给出电场和磁场的表达式（1）离振子中心点的距离r远远小于波长的区域称为似稳区，这里场量的各分量可表示为：20(,)sin4rHHilHrtr30302(,)cos4(,)sin4(,)0rqlErtrqlErtrErtab由式子a可以看出，的表达式与毕奥-萨伐尔定律给出的电流元产生的磁场强度相同；而式子b给出了场强与电偶极距为的电偶极子产生的场强相同。qlHr（2）的区域通常称为辐射区或者远区。这一区域内场强的各分量可表示为：00(,)sinsin()4rHHIlrHrttrv2000(,)sinsin()40rEIlrErttrvE12上式中v是电磁波传播的速度，称为相位常数。由上式可以看出，在辐射区，场强的位相滞后于激励源的电源位相，这是由于电磁波以有限的速度传播所表现出来的推迟效应。在辐射区中磁场强度位于与赤道面平行的平面内而电场强度位于子午面内，二者相互垂直，且都垂直于半径r（如下图）。vHEab磁场与电场偶极振子的上图中a，b描绘了某一瞬间与线在空间的分布。不管在远区还是在近区，线的分布都具有轴对称性，在垂直于振子的平面内，线围绕着振子轴线旋转而成闭合曲线，它们和传导电流及位移电流相互交联且成右手螺旋关系。每隔半个波长，线的方向变动一次，随着电磁波的向前推移，线的半径越来越大（a）。b中表示以振子为轴的子午面上的电场分布。在近区，线可从正电荷出发终止于负电荷；在远区，电场由变化的磁场产生，线成为闭合曲线，它和该处的线交联。图b中的“.”和“+”分别表示穿入纸面的线。由于电场的大小和成正比，所以在与振子垂直的平面上，线最密集，而在振子轴线方向上无线。EEEEHHHHHHHsinE8.5平面电磁波仅讨论在自由空间传播的均匀平面电磁波。所谓自由空间是指空间中既没有自由电荷，也没有传导电流，而且空间无限大，可以不考虑边界的影响。空间可以是真空，也可以充满均匀介质。均匀平面波系指等相位面是平面，且等相面上各点的场强都相等的电磁波。自由空间的麦克斯韦方程组可写为：0000rrEHEtHEHtxyzxyz(ijk)xyzEEiEjEkHHiHjHk它们在直角坐标系中的分量形式为：0000yxzyxzryxzryxzrEEExyzEHEyztHEEzxtEEHxytⅰⅱxⅱyⅱz0000yxzyxzryxzryxzrHHHxyzHEHyztEHHzxtHHExytⅲⅳxⅳyⅳz设平面波沿+z轴传播，则波面垂直于z轴，由于均匀平面波的原因，场强与x,y无关，上