第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波山东大学例题

第八章麦克斯韦电磁理论和电磁波1。一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为S，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即。试求：tqqmsin(1)电容器中的位移电流密度的大小；(2)设为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布rB解（1）由题意可知，，对于平行板电容器电位移矢量的大小为tqqmsintSqSqDmsin0所以，位移电流密度的大小为tSqtSqttDjmmDcos)sin((2)由于电容器内无传导电流，故。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设为由圆板中心到场点的距离，并以为半径做圆周路径L。根据全电流安培环路定理可知00jrrLrHdlH2通过所围面积的位移电流为L2rjdSjDSD所以tSrqrjHmDcos22最后可得tSrqHBmcos200注释：由于平行板电容器极板上的电荷随时间作周期性变化，可知电容器极板间的电场也是时间的函数，则由随时间变化的电位移通量可求出位移电流。由于全电流具有轴对称性，可用全电流安培环路定理求出磁场强度H，最后求得磁感应强度B。从结果中看到，BB(r,t)，表明在平行板电容器中的磁场是非均匀磁场。qDI2。充电，试求：如图（a）所示，用二面积为的大圆盘组成一间距为d的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流0S0I(1)此电容器中的位移电流密度；(2)如图（b）所示，电容器中点的磁感应强度；P(3)证明在此电容器中从半径为、厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。rd解(1)由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电流密度的方向应如图（c）所示，其大小为0I00SIjD通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求:Dj因为0000SdtddtdQI由于，因此D0DjSdtdDSI000所以00SIjD(2)由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场也呈轴对称，显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。BPB根据全电流安培环路定理，将用于此线上，有dSjjdlBSDL00BdSjjrBdlBSDL002200rjdSjDSD2000rSI得20002rSIrB所以rSIB0002(3)在电容器中作半径为、厚度为的圆柱体，如图（d）所示。由坡印廷矢量分析可知，S垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流人圆柱体内的。在单位时间内流人的能量为rdHESrdEHrdS22因为。00000BBDEH00200000000022IQSrSrISQ所以rdIQSrrdS22200200002002IQSdr由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为)2()21(2020202drdtddrDdtddtdWe)2(220020drSQdtd002002002002IQSdrdtdQQSdr显然，单位时间内流人圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。注释：本题中由于电源给平行板电容器稳定充电，电容器极板上电荷不断变化，使极板内部电场稳定变化，产生不随时间变化的位移电流，进而在电容器内部激发磁场。由于传导电流和位移电流的对称性分布，可用安培环路定理求解B。问题（3）中的结果表明电磁场的能量是从电容器的侧面流入的，且单位时间内流入电容器中的能量与电容器内增加的能量相等。3。如图所示，已知电路中直流电源的电动势为12V、电阻R=6Ω，电容器的电容，试求：FC0.1（1）接通电源瞬时电容器极板间的位移电流：（2）s时，电容器极板间的位移电流；(3)位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时间常数后电流小到可忽略不计）6106t解:对串联电路的暂态过程有RCCqdtdqR求解该方程得：，表示极板上的电荷量是随时间变化。)1(1012)1(610616ttRCeeCq在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电流为tqStStDSjIDD0ttee610610666626101012对应不同的情况，可求得(1)在接通电源的瞬时，电容器极板间的位移电流A0t2DI(2)当s时，6106t11066102266eeIDA(3)在时可认为电流忽略不计，即。所以10t0DI56106106101010RCt(s)注释:当接通电源后，电源给电容器充电，所以电容器极板上的电荷量随时间变化，在电容器中产生位移电流。但当充电过程结束时，电容器极板上的电荷q不再变化，电容器内部的电场也不再变化，故此时位移电流消失。4.一球形电容器，其内导体半径为，外导体半径为，两极板之间充有相对介电常数为的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为V=，假设不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为的球面的位移电流。1R2RrtVsin021RrRr解:设电容器极板上带有电荷，由位移电流密度公式可知tqtDjD由于球形电容器具有球形对称，可用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为(为径向单位向量)024rrtqD0r球形电容器极板间的电势差为210122104))(()11(4RRRRtqRRqVrr与上式联立，消去，得q012202100122210sin)()(trRRrVRRrRRrVRRDrr所以位移电流密度为01220210cos)(trRRrVRRtDjrD在电容器中，作半径为的球面（r），通过它的位移电流为r1R2RtRRVRRrjdSjIrDDDcos441202102的流向沿径向，且随时间变化。DI注释球形电容器两极板间的电压随时间变化，所以极板间电场变化，产生位移电流。从结果中看出，介质中各处的位移电流密度不同，而穿过任意球面的位移电流与球面大小无关。5.如图所示，电荷以速度向点运动（到点的距离以表示）。在点处作一半径为a的圆，圆面与垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度。qvOqOxOvB解电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设时刻穿过圆面上的电位移通量为tSDdSD为使计算简便，可以为球心，r为半径，a为小圆半径的底面，做一球冠，球面上各点的的大小相等，穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即qDhrrqDSdSDSD242球冠cos12cos242qrrrrq)1(222axxq代入位移电流的定义式，得vrqadtdxaxaqdtdIDD322322222取半径为a的圆为积分回路L，由麦克斯韦方程，有vrqaIdlHLD322由于运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环路上各点的H大小相等，即qvrqaaH3222sin4423rqvrqvaH得sin4200rqvHB写成矢量形式有2004rrqvB这正是运动电荷产生的磁场公式。注释:求出电位移通量，就可由位移电流定义求解，因此本题的关键是求解。取球冠求的优点是球面上各点的大小相同，便于计算。而在圆面上各点D的大小是不相同的，需要用积分来解决。由于问题具有轴对称性，可用安培环路定理求解。DIDDDB6.如图所示，由电容为0.025F的电容器和自感系数为1.015H的线圈构成一振荡电路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器所带电量的幅值为2.5C。试求：610(1)充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率；(2)电路中电流随时间的变化率；(3)电场和磁场能量分别随时间的变化率。解：在图示中，将开关K先后扳向位置2,1使电容器充、放电，便可在电路中产生电流的周期性变化。设电路中电荷随时间的变化规律为LCtqqcos0则电路中的充、放电流为tqdtdqIsin0由于在LC电路中，，所以回路的振荡频率LC1LCf212（1）由题意可知rad／s20001LCHz100021LCf所以ttqq2000cos105.2cos60代人电容器的电容公式，有6610025.02000cos105.2tCqV100cos(2000)Vt表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。（2）已知电路中电荷变化规律，则有tqdtdqIsin0)2000sin(106.12t（3）电容器储存的电场能量为(J)CtqCqWe2)(cos212202)2000cos(101256t线圈储存的磁场能量为(J))(sin212122202tLqLIWm)2000(sin1012526t整个电路系统的总能量610125me(J)注释：变化的电场在周围空间激发变化的磁场，此变化的磁场又会在较远的周围空间激发变化的感生电场，这样，变化的磁场和变化的电场相互激发、交替产生，以一定的速度由近及远地在空间传播而形成电磁波。LC电路的电磁振荡规律与力学中的简谐振动规律相类似。电路系统的总能量包括电容器储有的电场能和线圈L储存的磁场能。