第八章-多元函数微分学课件

高数课件第八章多元函数微分法及其应用开始退出第一节多元函数的基本概念返回第二节偏导数第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节微分法在几何上的应用第八节多元函数的极值及其求法第七节方向导数与梯度第三节全微分总习题返回一.区域四.多元函数的连续性三.多元函数的极限二.多元函数概念第一节多元函数的基本概念习题第一节多元函数的基本概念一、区域1.邻域设是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点距离小于δ的点的全体称为的邻域，记为，即也就是返回000(,)Pxy000(,)Pxy(,)Pxy0P0(,)UP00(,){}UPPPP22000(,){(,)()()}UPxyxxyy下一页2.区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域使，则称P为E的内点(图8-1).如果点集E的点都是内点，则称E为开集.如果点P的任一邻域内既有属P于E的点，也有不属于E的点，E则称P为E的边界点（图8-2）.设D是开集.如果对于D内的图8-1任何两点，都可用折线连结起下一页上一页()UP()UPE返回来,而且该折线上的点都属于D,P则称开集D是连通的.连通的开集称为区域或开区域.E开区域连同它的边界一起,称为闭区域.图8-23.n维空间设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组的全体为n维空间,而每个有序n元数组称为n维空间中的一个点,数称12(,,,)nxxx12(,,,)nxxxix返回下一页上一页为该点的第i个坐标,n维空间记为.n维空间中两点及间的距离规定为n12(,,,)nPxxx12(,,,)nQyyy2221122()()()nnPQyxyxyx返回下一页上一页二、多元函数概念定义1设D是平面上的一个点集.如果对于每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数),记为点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z(,)()zfxyzfP或例题返回下一页上一页也称为因变量,数集称为该函数的值域.把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D.则可类似的定义n元函数.当n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函数统称为多元函数.{(,),(,)}zzfxyxyD12(,,,)nufxxx返回下一页上一页三、多元函数的极限二元函数当,,即时的极限.这里表示点以任何方式趋于，也就是点与点间的距离趋于零，即定义2设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）内有定义，是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式(,)zfxy0xx0yy000(,)(,)PxyPxy0PP0P0P22000=()()0PPxxyy000(,)PxyPP返回下一页上一页的一切点P(x,y)∈D，都有成立，则称常A为函数f(x,y)当，时的极限，记作或这里.220000=()()PPxxyy(,)fxyA0xx0yy0lim(,)xxfxyA(,)fxyA(0)0PP例题返回下一页上一页四、多元函数的连续性定义3设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义，是D的内点或边界点且.如果则称函数f(x,y)在点连续.若函数f(x,y)在点不连续，则称为函数f(x,y)的间断点.函数0PD0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy0P222222,0(,)0,xyxyxyfxyxy=0000(,)Pxy000(,)Pxy000(,)Pxy返回下一页上一页当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.函数在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线.性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值.在D上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切P∈D，有221sin1zxy221xy1P2P1()fP2()fP返回下一页上一页性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ.*性质3(一致连续性定理)在有界闭区域上的多元连续函数必定在D上一致连续.若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的21()()()fPfPfP返回下一页上一页任意二点，只要当时，都有成立.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即12()()fPfP0P00lim()()PPfPfP例题12,PP12PP返回上一页一.偏导数的定义及其计算方法二.高阶偏导数第二节偏导数习题返回一、偏导数的定义及其计算方法定义设函数在点的某一邻域内有定义，当y固定在而x固定在处有增量Δx时，相应地函数有增量如果（1）存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记作(,)zfxy00(,)xy0y0x0000(,)(,)fxxyfxy00000(,)(,)limxfxxyfxyx(,)zfxy00(,)xy返回下一页例如，极限(1)可以表示为(2)类似地,函数在点对y的偏导数定义为0000000,0,,()xxxxxxxxyyyyyyzfzfxyxx或0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx(,)zfxy00(,)xy返回下一页上一页(3)记作如果函数在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y函数,它就称为函数对自变量x的偏导函数，记作00000(+)(,)limyfxyyfxyy，0000000,0,,()yxxyxxxxyyyyyyzfzfxyyy或(,)zfxy(,)zfxy返回下一页上一页类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作求时只要把y暂时看作常量对x求导数；求时只要把暂x时看作常量对y求导数.,,(,)xxzfzfxyxx或,,(,)yyzfzfxyyy或fxfy例题返回下一页上一页图8-6xyz0x0yO0MxTyT0(,)zfxy0(,)zfxy返回下一页上一页二、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数那么在D内都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同下列四个二阶偏导数：222(,),(,)xxxyzzzzfxyfxyxxxyxxy　　(,),(,)xyzzfxyfxyxy　　(,)(,)xyfxyfxy、222(,),(,)xxxyzzzzfxyfxyxxxyxxy　　返回下一页上一页二元函数z=f(x,y)在点的偏导数有下述几何意义.设为曲面z=f(x,y)上的一点,过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为,则导数，即偏导数,就是这曲线在点处的切线对x轴的斜率(见图8-6).同样偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴的斜率.00(,)xy00000(,,(,))Mxyfxy0M0yy0yy0(,)zfxy00(,)dfxyxxdx00(,)xfxy0M0xMT00(,)yfxy0xx0M0xMT返回下一页上一页其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.222(,),(,)xxxyzzzzfxyfxyxxxyxxy　　222(,),(,)yxyyzzzzfxyfxyxyyxyyy　　2zyx2zxy例题例题返回上一页第三节全微分及其应用习题下一页返回第三节全微分及其应用二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率.上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分.设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一(,)(,)(,)xfxxyfxyfxyx(,)(,)(,)yfxyyfxyfxyy(,)Pxxyy下一页上一页返回点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量Δx、Δy的全增量，记作Δz，即定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量(1)可表示为(,)(,)fxxyyfxy(,)(,)zfxxyyfxy(,)(,)zfxxyyfxy()zAxByo下一页上一页返回其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x,y有关，，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而称为函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分，记作dz,即(2)如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分.下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条件.定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点22()()xyAxBydzAxBy下一页上一页返回(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为(3)证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对于点P的某个邻域内的任意点，(2)式总成立.特别当时(2)式也应成立，这时，所以(2)式成为zxzyzzdzxyxy(,)Pxxyyx0y下一页上一页返回上式两边各除以，再令而极限，就得从而，偏导数存在，而且等于A.同样可证=B.所以三式成立.证毕.(,)(,)()fxxyfxyAxxx0x0(,)(,)limxfxxyfxyAxzxzy下一页上一页返回定理2(充分条件)如果z=f(x,y)的偏导数在(x,y)连续，则函数在该点可微分.证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思.设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量zzxy、(,)xxyy(,)(,)zfxxyyfxy(,)(,)fxxyyfxyy下一页上一页返回在第一个方括号内的表达式，由于y+Δy不变，因而可以看作是x的一元函数的增量.于是应用拉格郎日中值定理，得到又依假设，在点连续，所以上式可写为(,)(,)fxxyyfxyy(,)(,)fxyyfxy(,)fxyy(,)(,)fxxyyfxyy11(,)01xfxxyyx　()(,)xfxy(,)xy下一页上一页返回(4)其中为Δx、Δy的函数，且当时，.同理可证第二个方括号内的表达式可写为(5)其中为Δy的函数，且当时，.由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量Δz可以表示为(,)(,)fxxyyfxyy1(,)xfxyxx10,0xy102(,)(,)(,)yfxyyfxyfxyyy20y20下一页上一页返回容易看出它就是随着即