第五章补充_单自由度系统的振动概要

第三章：单自由度系统振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动无阻尼有阻尼简谐激励下的响应周期激励下的响应任意激励下的响应3.1单自由度系统的自由振动3.1.1无阻尼情形0kxxmmknmkfn2102xxn,)(stcetx022ns得到:方程特征根：njs微分方程：—无阻尼固有角频率；—固有频率；解的形式：其中c、s为常量。特征方程：k3.1单自由度系统的自由振动,111tsecx特征解：根据线性系统叠加原理，方程的通解为两个特征解的线性叠加:tstsecectx2121)()sin()(0tAtxn两个频率相同的简谐振动的合成仍然是一个简谐振动(简谐振动的基本性质1),)0(0xxA、φ0由初始条件决定：,22020nxxA000arctanxxntsecx2220)0(xx3.1单自由度系统的自由振动习题1.单摆以角度θ为位移,建立运动方程，并求振动固有频率。Olθm3.1单自由度系统的自由振动2.升降机问题Tmv0k升降机箱笼质量为m，由钢丝绳牵挂以速度v0向下运动，钢丝绳刚度系数为k，质量不计。如果升降机紧急刹车，钢丝绳上端突然停止运动。（弹簧减振钩）求此时钢丝绳受到的最大张力Tmax3.1.2有阻尼情形(粘性阻尼)3.1单自由度系统的自由振动0kxxcxm微分方程：,)(stAetx解的形式：02kcsms特征方程：特征根：mkmcmcs22,122令：ncrmccc2为阻尼比，ncrmkmc22为临界阻尼系数。122,1nns方程通解：,)(2121tstseAeAtx化简后：3.1单自由度系统的自由振动对ξ范围分三种情况讨论：（1）欠阻尼1022,11nnjs),()(21tjtjtddneAeAetx21nd（有阻尼固有角频率）利用欧拉公式：),sincos()(21tctcetxddtnc1=A1+A2c2=j(A1-A2)初始条件：，0)0(xx0)0(xx，01xcdnxxc002系统响应：tAetxxtxetxdtddndtnnsin)sincos()(000系统响应为振幅按指数规律逐渐衰减的简谐振动。20020dnxxxA000arctanxxxndtxO3.1单自由度系统的自由振动欠阻尼单自由度系统自由响应tAetxdtnsin)(Aetntdsin3.1单自由度系统的自由振动（2）临界阻尼1ns2,1系统响应：)()(21tccetxtnc1、c2由初始条件决定：，01xc002xxcn])([)(000txxxetxntn系统处于将要振动又未振动的临界状态。(无振动)22,11nnjs3.1单自由度系统的自由振动（3）过阻尼1),()(121122tttnnnececetxc1、c2由初始条件决定：，12)1(20201nnxxc12)1(20202nnxxc系统响应为一种振幅按指数规律衰减的非周期蠕动。(无振动)3.1单自由度系统的自由振动过阻尼单自由度系统自由响应txO3.2单自由度系统的强迫振动简谐激励下的响应周期激励下的响应任意激励下的响应3.2单自由度系统的强迫振动3.2.1简谐激励下的响应激励力：tFkxxcxmsin0F=F0sinωt微分方程：解的形式：x(t)=x1(t)+x2(t)x1(t)为强迫振动下系统的特解。瞬态响应（通解）0kxxcxm在欠阻尼情况下的解。为对应齐次方程x2(t)稳态响应（特解）)sincos()(211tataetxddtn)sin()(2tXtx3.2单自由度系统的强迫振动)Im()(2tjeXtxjjnnXeekFjkFjmFX222020220)2()1(121121)(频率比，n)()2()1(12220稳态响应振幅，kFX)(,12arctan2稳态响应初始相位其中用复数法求解x2：令代入微分方程3.2.1.1稳态响应分析tFkxxcxmsin0得：3.2单自由度系统的强迫振动)sin(]Im[)Im()()(2tXXeeXtxtjtj简谐激励的稳态位移响应为：)2sin()cos()(2tXtXtv简谐激励的稳态速度响应为：)sin()2cos()(222tXtXta简谐激励的稳态加速度响应为：3.2单自由度系统的强迫振动（2）响应的振幅及响应与驱动力的相位差与m、c、k、F0、ω有关，与初始条件无关。线性系统稳态强迫响应的特点：（1）响应是频率等于激励频率，相位滞后于激励力的简谐振动。3.2单自由度系统的强迫振动频率比：n位移振幅放大因子：2220)2()1(1)(kFXkF0系统在静态力F0作用下的静态位移。X系统在动态力F0sinωt作用下的动态振幅。振幅放大因子与极值条件讨论:其中：振幅放大因子3.2单自由度系统的强迫振动由于位移、速度和加速度的振幅X、ωX、ω2X是随着频率比λ而变化的，因此221即此时位移响应出现最大振幅，位移发生共振。nn221（1）位移幅值X极值条件为:0])2()1[()1(222dddXd（可通过1/X的极值条件求得）位移共振频率为：极值条件最大振幅为为：2012XXkFX002220)2()1(1kFX3.2单自由度系统的强迫振动此时速度响应出现最大振幅，速度发生共振。n（2）速度幅值ωX极值条件同理可以求得，速度共振频率为：此时加速度响应出现最大振幅，加速度发生共振。221n（3）加速度幅值ω2X极值条件加速度共振频率为：最大振幅为为：20VV00XV最大振幅为为：2012AA020XA3.2单自由度系统的强迫振动ωn012345024681012141618ω速度V位移X加速度A221n221n位移速度加速度的幅频图3.2单自由度系统的强迫振动简谐激励下的响应：初始条件：，0)0(xx0)0(xx得到：sin01XxadndXxxa)cossin(0n023.2.1.2全响应分析)sin()sincos()(21tXtataetxddtn（强迫振动，稳态振动）3.2单自由度系统的强迫振动)sincos(ex(t)0n00-ntxxtxdddt单自由度强迫振动响应：]sin)cossin(cos[sinen-ttXddndt)sin(tX（自由伴随振动，瞬态振动）（自由振动，瞬态振动）3.2单自由度系统的强迫振动单自由度强迫振动响应特征：（1）响应由三部分组成，自由振动和自由伴随振动由于存在阻尼，逐渐衰减，是瞬态过程。强迫振动是等幅与激振力同频的稳态响应。（2）响应由初始条件发展到完整受迫振动的阶段称为过渡过程。阻尼越大，过渡过程持续时间越短。3.2.1.3瞬态响应分析3.2单自由度系统的强迫振动瞬态响应（即过渡阶段）时间的长短主要决定于阻尼的大小。阻尼小时，瞬态振动衰减的时间就长。瞬态振动结束后，系统只做稳态振动。以下讨论阻尼比ξ＝0的情况。当ξ＝0，则稳态响应初相ψ＝0，由全响应公式得：)sin(sin)1(sincos)(2000ttkFtxtxtxnnnn当初始条件0,000xx时，有：)sin(sin)1()(20ttkFtxn可见，即使初始条件为零，仍存在与稳态振动相伴的自由振动。稳态振动自由振动3.2单自由度系统的强迫振动当激振力频率与固有频率接近，令：,2nnε为一小量。ttkFttkFtxnnnncos2cossin2)(00)sin(sin)1()(20ttkFtxn即出现“拍”的现象。c3.2单自由度系统的强迫振动习题4.旋转机械振动问题eM(旋转机械质量)km(偏心质量)ωtx分析旋转机械由于转子的偏心而导致的稳态振动。偏心距为e，转子的角速度为ω。3.2单自由度系统的强迫振动3.2.2基础简谐激励下的受迫振动在许多工程实际情况中,系统受到的激励来自基础或支承的运动。例如：车辆在不平路面上行驶时的车体振动；车体振动引起车内仪表和电子设备的振动；地震引起的建筑物振动。（相对速度）3.2单自由度系统的强迫振动mckxxs例题:支承端的运动：taxssin求系统的微分方程及稳态解。解：系统的微分方程为：0)()(ssxxkxxcxm（相对位移）x是相对地球坐标系的，但是求弹簧力和阻尼力必须用相对坐标。3.2单自由度系统的强迫振动将xs=asinωt代入化简得到：tcatkakxxcxmcossin（激励力）表明由于支承运动使质量受两部分激励力的作用：一部分是通过弹簧传递过来的力kxs，相位与xs相同；另一部分由阻尼器传递过来的力，相位比xs超前。sxc2)sin(cossintBtcatkakxxcxmkccakaBarctan,)()(22激励为幅值为B，角频率为ω的简谐力。3.2单自由度系统的强迫振动系统的稳态响应为：)sin()sin()2()1()2(1)(212222tAtatxs其中：,12arctan21,2arctan2,212222)2()1()2(1aAsnnmc,201230123452dT3.2单自由度系统的强迫振动讨论:绝对运动传递率系统绝对运动的振幅As与基础运动的振幅a之比。2222)2()1()2(1aATsdefd01.01.02.0707.0绝对运动传递率幅频特性曲线特点1.在低频段（0λ1）有系统的运动接近于基础运动，它们之间基本上没有相对运动0,1ddT2.在共振频段（λ≈1）附近有峰值，基础运动经弹簧和阻尼器放大后传递到系统。3.不同阻尼比的幅频特性曲线都在时，。21dT4.在高频段（）,Td≈0，说明基础运动被弹簧和阻尼器隔离了。2通过弹性支撑减少基础传到设备的振动幅值。通过弹性支撑来隔离振源传到基础的力。（简称隔振）研究物体之间振动的传递关系，减少相互间所传递的振动量。3.2单自由度系统的强迫振动3.2.3振动的隔离振动隔离分类隔力隔幅mckxf0sinωt隔力mckxxs隔幅3.2单自由度系统的强迫振动(1)隔力问题应用例子：飞机、汽车等运载工具的发动机是一个振源，将发动机通过隔振器安装在运载工具上，减少它的激振力。mckxf0sinωt隔力隔振器传递到刚性基础的弹性力和阻尼力分别为：)sin()(ddtkBtku)cos()(ddtBctuc3.2单自由度系统的强迫振动合力幅值为：2222022)2()1()2(1)(fckBfd力传递率经过激振器传到基础的力幅f与激励幅值f0之比。22220)2()1()2(1ffTdeff注：与基础简谐激励下系统绝对运动的传递率Td形式完全相同。当时，Tf1，弹性支