微波技术与天线第2章

第2章规则金属波导2.1导波原理2.2矩形波导2.3圆形波导2.4波导的激励与耦合第2章规则金属波导第2章规则金属波导1.对由均匀填充介质的金属波导管建立如图2-1所示坐标系,设z轴与波导的轴线相重合。由于波导的边界和尺寸沿轴向不变,故称为规则金属波导。为了简化起见,我们作如下假设:①波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的;②波导管内无自由电荷和传导电流的存在;③波导管内的场是时谐场。2.1导波原理第2章规则金属波导图2–1金属波导管结构图第2章规则金属波导电磁场理论,对无源自由空间电场E和磁场H满足以下矢量亥姆霍茨方程:式中,k2=ω2με。现将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量,即E=Et+azEzH=Ht+azHz022EkE022HkH(2-1-1)(2-1-2)第2章规则金属波导式中,az为z向单位矢量,t表示横向坐标,可以代表直角坐标中的(x,y);也可代表圆柱坐标中的(ρ,φ)。为方便起见,下面以直角坐标为例讨论,将式（2-1-2）代入式(2-1-1),整理后可得下面以电场为例来讨论纵向场应满足的解的形式。设为二维拉普拉斯算子,则有2t2222zt(2-1-3)(2-1-4)000022222222ttzzttzzHkHHkHEkEEkE第2章规则金属波导利用分离变量法,令代入式(2-1-3),并整理得)()(dd),(),()(2222zZzZzyxEyxEkzzt上式中左边是横向坐标(x,y)的函数,与z无关;而右边是z的函数,与(x,y)无关。只有二者均为一常数，上式才能成立,设该常数为γ2,则有0),()(),(222yxEkyxEzzt0)()(222zZzZdzd)(),(),,(zZyxEzyxEzz(2-1-6)(2-1-5)(2-1-7)第2章规则金属波导上式中的第二式的形式与传输线方程(1-1-5)相同,其通解为A+为待定常数,对无耗波导γ=jβ,而β为相移常数。现设Eoz(x,y)=A+Ez(x,y),Ez(x,y,z)=Eoz(x,y)e-jβz同理,纵向磁场也可表达为:Hz(x,y,z)=Hoz(x,y)e-jβzrzrzeAeAzZ)((2-1-8)(2-1-10a)(2-1-10b)rzeAzZ)((2-1-9)由前面假设,规则金属波导为无限长,没有反射波,故A－=0,即纵向电场的纵向分量应满足的解的形式为第2章规则金属波导0),(),(2c2yxEkyxEOZozt0),(),(2c2yxHkyxHozozt式中,k2c=k2-β2为传输系统的本征值。由麦克斯韦方程,无源区电场和磁场应满足的方程为EHjHEj将它们用直角坐标展开,并利用式（2-1-10）可得:(2-1-11)(2-1-12)而Eoz(x,y),Hoz(x,y)满足以下方程:第2章规则金属波导)(j2cxEyHkEZzx)(j2cyExHkEzzy)(j2cyExHkHzZx)(j2cxEyHkHzZy(2-1-13)第2章规则金属波导yHxHyExEjjjjkHHEEzzzzcyxyx0000000012进一步归纳成矩阵形式注意到Ez和Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。波导的一般解第2章规则金属波导波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，上式也称Helmholtz方程支配方程222200EkEHkH纵向分量方程222200EkEHkHzzzz其它分量用表示EHEfEHEfEHHfEHHfEHzxzyzxzyz,,,,,,1234方程无源区中出发点Maxwell波导一般解流图第2章规则金属波导从以上分析可得以下结论:①在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程,结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz,而场的横向分量即可由纵向分量求得;②既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式,不同的模式具有不同的传输特性;③kc是微分方程（2-1-11）在特定边界条件下的特征值,它是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。由于当相移常数β=0时,意味着波导系统不再传播,亦称为截止,此时kc=k,故将kc称为截止波数。第2章规则金属波导22c2c2/1kkkkk(2-1-14)1)在确定的均匀媒质中,波数与电磁波的频率成正比,相移常数β和k的关系式为k2.传输特性第2章规则金属波导第2章规则金属波导第2章规则金属波导3)定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗,即ttHEZ(2-1-18)第2章规则金属波导式中,Z为该波型的波阻抗。4)由玻印亭定理,波导中某个波型的传输功率为StStSzttSSHZSEZdSaHESHEPd||2d21)(Re21d)(Re2122第2章规则金属波导3.1)即kc=0这时必有Ez=0和Hz=0,否则由式（2-1-13）知Ex、Ey、Hx、Hy将出现无穷大,这在物理上不可能。这样kc=0意味着该导行波既无纵向电场又无纵向磁场,只有横向电场和磁场,故称为横电磁波，简称TEM波。对于TEM波,β=k,故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同。而且由于截止波数kc=0,因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输。此时不能用纵向场分析法,而可用二维静态场分析法或前述传输线方程法进行分析。02ck第2章规则金属波导空心金属波导属单一导体不能传输TEM波。若金属波导内有TEM波，磁场线为横截面内的闭合线，产生轴向电流（传导电流或位移电流）.而金属波导中不可能有传导电流而位移电流也为0（电场在横截面内），所以产生矛盾，故空心金属波导不能传输TEM波。xzya0bem第2章规则金属波导0),(02ttE0),(0ttE从求解导波场的方程可以看出，TEM波对应KC=0的情况。TEM导波场满足二维拉氏方程又因为，可以看做二维静电场问题的解。所以TEM导波场与静态场相似，可以在导体之间传输（如传输线等）。第2章规则金属波导2)这时β2＞0,而Ez和Hz不能同时为零,否则Et和Ht必然全为零,系统将不存在任何场。一般情况下,只要Ez和Hz中有一个不为零即可满足边界条件,这时又可分为两种情形:(1)TM将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波,简称TM波,由于只有纵向电场故又称为E波。此时满足的边界条件应为02ck0|SzE(2-1-20)式中，S表示波导周界。第2章规则金属波导22TM/1kkHEZcyx而由式（2-1-18）波阻抗的定义得TM波的波阻抗为(2-1-21)第2章规则金属波导(2)TE将Ez=0而Hz≠0的波称为电场纯横向波,简称TE波,此时只有纵向磁场，故又称为H波。它应满足的边界条件为0SZnH(2-1-22)式中，S表示波导周界；n为边界法向单位矢量。而由式（2-1-18）波阻抗的定义得TE波的波阻抗为22TE/11kkHEzcyx(2-1-23)无论是TM波还是TE波,其相速均比无界媒质空间中的速度要快,故称之为快波。rrc/第2章规则金属波导3)这时而相速,即相速比无界媒质空间中的速度要慢,故又称之为慢波。02ckkkkc22rrpcv//第2章规则金属波导2.21.1)TE波此时Ez=0,Hz=Hoz(x,y)e-jβz≠0,0),(),(2c2tyxHkyxHozoz(2-2-1)第2章规则金属波导图2–2矩形波导及其坐标第2章规则金属波导,22222yxt0),(),(oz2c2222yxHkyxHyxoz应用分离变量法,令Hoz(x,y)=X(x)Y(y)代入式（2-2-2）,并除以X(x)Y(y),得(2-2-1)(2-2-2)(2-2-3)2c2222d)(d)(1d)(d)(1kyyYyYxxXxX第2章规则金属波导要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为和,则有2xk2yk于是,Hoz(x,y)的通解为(2-2-4)(2-2-5)0)(d)(d222xXkxxXx2c222220)(d)(dkkkyYkyyYyxy)sincos)(sincos(),(2121ykBykBxkAxkAyxHyyxxoz第2章规则金属波导其中,A1A2B1B2为待定系数,由边界条件确定。由式（2-1-2）知,Hz将式（2-2-5）代入式（2-2-6）可得(2-2-6)(2-2-7)0||0||00byzyzaxzxzyHyHxHxHbnyamxkBkA0022第2章规则金属波导于是矩形波导TE波纵向磁场的基本解为代入式（2-1-13），则TE波其它场分量的表达式为zjmnmnzybnxbmHHe)cos()cos(00(2-2-8)(2-2-9)式中,Hmn为模式振幅常数,故Hz(x,y,z)的通解为2,1,0,e)cos()cos(e)cos()cos(11nmybnxamHybnxamBAHzjmnzjz第2章规则金属波导zmnmncxybnxamHbnkjEj002e)sin()cos(zmnmncyybnxamHamkjEj002e)cos()sin(0ZEzmnmncxybnxamHamkjHj002e)cos()sin(zmnmncyybnxamHbnkjHj002e)sin()cos((2-2-10)第2章规则金属波导式中,为矩形波导TE波的截止波数,显然它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数,一组m、n,对应一种TE波,称作TEmn模;但m和n不能同时为零,否则场分量全部为零。因此，矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;其中TE10模是最低次模,其余称为高次模。22cππbnamk第2章规则金属波导2)TM对TM波,Hz=0,Ez=Eoz(x,y)e-jβz,此时满足其通解也可写为0221OZCOZEKE由式（2-1-20）,应满足的边界条件为(2-2-11)(2-2-12)0),()0,(0),(),0(bxExEyaEyEzzzz（2-2-13）)sincos)(sincos(),(2121ykBykBxkAxkAyxEyyxxoz第2章规则金属波导用TE波相同的方法可求得TM波的全部场分量0e)sin()cos(je)cos()sin(je)sin()sin(e)cos()sin(je)πsin()πcos(πj11j2c11j2c11j11j2c11j2czmnzmnymnzmnxmnzmnzmnzmnymnzmnxHybnxamEamkHybnxamEbnkHybnxamEEybnxamEbnkEybnxamEamkE（2-2-14）第2章规则金属波导式中,，Emn为模式电场振幅数。TM11模是矩形波导TM波的最低次模,其它均为高次模。总之,矩形波导内存在许多模式的波,TE波是所有TEmn模式场的总和,而TM波是所有TMmn模式场的总和。22cππ