罗尔定理

一、引理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理五、泰勒公式第一节微分中值定理一、引理引理设f(x)在处可导,且在的某邻域内恒有则有.0x0x)),()()(()(00xfxfxfxf或0)(0xf二、罗尔定理定理4.1设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,.0)('),(fba，使则至少存在一点(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义：若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在使.),1,1(0)('f又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在，使.)1,0(0)(f再如f(x)在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在,1,0,10,)(xxxxf.0)(f使),1,0(还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.例如在[0,3]上不满足罗尔定理的条件但是存在，使.)3,0(12)1()(xxf)),3()0((ff0)1(f三、拉格朗日中值定理定理4.2设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点.)()()(),(abafbffba，使分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.)(x),(x0)('，)()()(abafbff拉格朗日中值定理的几何意义：如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.)),(,(f.)()()()(axabafbfafy作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfx即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.)(x弦线的方程为证令).()()()()()(axabafbfafxfx由于f(x)在[a,b]上连续，因此在[a,b]上连续.)(x)(x由于f(x)在(a,b)内可导，因此在(a,b)内可导.又由于),(0)(ba因此在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点，使，即)(x),(ba0)(0,)()()(abafbff从而有，或表示为)()()(abafbff上述结论对ba也成立.).)(()()(abfafbf如果f(x)在(a,b)内可导，则在以为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即),,(),,(00baxxbaxxxx00与因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,)()()(00xfxfxxf其中为之间的点.也可以记为xxx00与为10,)()()(000xxxfxfxxf或,10,)(0xxxfy推论1若在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.)(xf事实上，对于(a,b)内的任意两点，由拉格朗日中值定理可得21,xx,0))(()()(1212xxfxfxf由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2若在(a,b)内恒有，则有)()(xgxf其中C为某常数.由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得.0)()(])()([xgxfxgxf例1选择题.选出符合题意的选项.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有()..]0,2[,1)(.Axxxf.]4,2[,)4()(.B2xxxf.]2π,π23[,sin)(.Cxxxf.]1,1[|,|)(.Dxxxf注意罗尔定理的条件有三个:(1)函数y=f(x)在[a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不难发现，在[－2,0]上不满足连续的条件，因此应排除A.xxf1)(对于，在[－2,4]上连续，在(－2,4)内可导；f(－2)=36，f(4)=0，，因此应排除B.2)4()(xxf)4()2(ff.C.上]2,23[sin).2π(1)π23(应选尔定理满足罗在因此ππxff,)2π,π23(,]2π,π23[sin)(可导内在上连续，在对于xxf对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ.综合之，本例应单选Ｃ.例2设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点使得),,(ba.0)(f分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.))(,(f例3选择题.函数在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的=()..1.D;3.C;0.B;43.A由于在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值定理条件.12)(2xxxf分析使),3,1(由拉格朗日定理可知，必定存在.)()()(abafbff由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而因此有.14)(f12)(2xxxf可解得，因此本例应选D.1.3)1(341614.|||arctanarctan|abab例4试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctanx.证设f(x)=arctanx,不妨设ab.由于arctanx在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.可知必定存在一点,),(ba使得由于.))(()()(abfafbf211)(arctanxx因此arctanx在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.由于，因此.||||11|arctanarctan|2ababab112.),(11arctanarctan2baabab从而有.)ln(11xxxx例5当x0时,试证不等式分析1ln)1ln()1ln(xx取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点使得.),0(x.)(')0()(xffxf,11)('11)(')1ln()(fttfttf，，,1]1)1[(111ln)1ln(xxx说明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.,11111x即.)ln(11xxxx，因此由于x0,11xxxx进而知四、柯西中值定理定理4.3设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，,0)(xg则至少存在一点.)()()()()()(),(agbgafbfgfba，使在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.五、泰勒公式由微分的概念知道，如果y=f(x)在点处可导，则有0x)())(()()(0000xxoxxxfxfxf||0很小时，有近似公式因此当xx，即)(dxoyy.))(()()(000xxxfxfxf从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附近用曲线y=f(x)在点处的切线来代替曲线y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.)))(,(00xfx上述近似公式有两点不足：1.精度往往不能满足实际需要；2.用它作近似计算时无法估计误差.因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望能用多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010来近似表达函数f(x)，并使得当时，为比高阶的无穷小,还希望能写出的具体表达式，以便能估计误差.0xx)()(xPxfnnxx)(0)()(xPxfn设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使与f(x)尽可能相近，希望)()()(000处相等在xxfxPn)()()(000处有相同的切线在xxfxPn)()()(000曲方向处两条曲线有相同的弯xxfxPn)()(0)(0)(xfxPnn，00)(axPn，101)(axPn，，20!2)(axPn,!)(0)(nnnanxP),(!21)()(020100xfaxfaxfa，，),(!10)(xfnann，可知.))((!1))((!21))(()()(00)(200000nnnxxxfnxxxfxxxfxfxP从而得到由f(x)构造的n次多项式若用在点附近来逼近f(x)，有下列两个结论：)(xPn0x).)(()(0nnxxoxr(1)余项rn(x)=f(x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小，即,)()!1()()(10)1(nnnxxnfxr(2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以表示为.0之间与在其中xx综上所述，可以描述为：泰勒公式Ⅰ设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n阶导数，则当时有,))(())((!1))((!21))(()()(000)(200000nnnxxoxxxfnxxxfxxxfxfxf.(Peano)))(()(0型余项亚诺为泰勒展开式中的作佩常称nnxxoxr),(bax泰勒公式Ⅱ设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数，则当时有),())((!1))((!21))(()()(00)(200000xrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn.)(.,))(()!1(1)(010)1(朗日型余项为泰勒展开式中的拉格常称之间与介于其中xrxxxxfnxrnnnn),(baxnnnxxxfnxxxfxxxfxfxP))((!1))((!21))(()()(00)(200000通常称为f(x)在x0处的n次泰勒多项式.以上展开式也称为f(x)的n阶泰勒公式.若在泰勒公式中令，则得到麦克劳林公式.),()0(!1)0(!21)0()0()()(2nnnxoxfnxfxffxf00x,)()!1(