高数同济10.4重积分应用

一、在几何上的应用1.面积平面图形的面积区域，则D的面积设D为平面上的有界闭.cos2,确定的平面图形的面积求由例1ararD解:Dcos2,arar.Dda).323(2a§4.重积分的应用cos(,),(,),33aa,Dd12r,332cos.aa203d2cosardr引理12A,的夹角为与平面A.一般情况，将A分割成若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，然后迭加再取极限即可。当A是矩形,l证且一边与l平行则也是矩形,且b引理成立.a注注：这里即两平面法矢量的夹角曲面的面积|cos|γA,21σπAπ上的投影为在上的区域则面积cos|cos|b当A不是矩形,a曲面的面积xzy0z=f(x,y)DiiS(xi,yi)Pi.1.设曲面的方程为：.),(),,(xyDyxyxfz计算曲面的面积A.曲面的面积xzy0SiAz=f(x,y)DiiSin.iS(xi,yi)iAi（由引理）inPi..cosdS221,1xyffAcos(,),(,),1xiiyiifxyfxy221xyffd221(,)(,)ddxyDfxyfxyxyiA1cosii221(,)(,)xiiyiiifxyfxydffdSyx221即221,xyxyDSffd于是曲面的面积为：(曲面的面积元素)dxdyyzxzAxyD221即于是dyzxzdS221空间曲面的面积1.曲面方程为：.),(),,(xyDyxyxfz,cosddAdS,11cos22yzxz３．设曲面的方程为：.),(),,(zxDxzxzhy曲面面积公式为：.122dzdxxyzyAzxD２．设曲面的方程为：yzDzyzygx),(),,(曲面面积公式为：;122dydzzxyxAyzD同理可得空间曲面的面积dxdyyzxzAxyD221即1.曲面方程为：.),(),,(xyDyxyxfz例2求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.解由对称性知,A14Az0yx11D：于是,222yxaa解)0,(yx12224Ddxdyyxaa4adrdr.4222aa221yxzzyxoz曲面方程,z由对称性知,A14A222axyaxyx22,122xyDyxdffAA1221xyDzzdxdy4020cosarcosa221ar例2求球面2222azyx，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.例3求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.解解方程组,22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周,222azayx在平面上的投影域为xy:xyD得由)(122yxazxzyz,122xyDyxdffA222,xya2,xa2,yaxyzO221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2在平面上的投影域为xy,:222ayxDxy得由)(122yxaz,2axzx,2ayzyxzyz2222221xyxyxy,122xyDyxdffA22xxy22yxy例3求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.221yxzz222144,axya知由222yxaz221yxzz,2A故2xyDdxdy上drdr22a).15526(62a在平面上的投影域为xy,:222ayxDxy得由)(122yxaz,122xyDyxdffA222144xyDaxydxdya下020a2214araxyzO例3求由曲面azyx22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.2.体积.dVVΩΩ如果可用不等式表示为:dσyxzyxzVD)],(),([12则:可表示为的体积，则空间区域设有一个空间立体占据ΩΩ12(,)(,)(,)zxyzzxy,xyD,xyzO63zxyzxy2222练习:计算由曲面与曲面围成立体的体积22xyxyzO663zxyzxy2222z3921[(,)(,)]DVzxyzxydσ.围成立体的体积曲面与计算由曲面:练习2222yxzyxz36xyzO922yx6VD22]3xyd32340112(3)312rrrDd45222[(6)xy2r[6r]3rdrddr020332(6)3rrrdσyxzyxzVD)],(),([12则二、重积分在物理上的应用1、质量,dXM)(.何度量(面积、体积)何体的几时，积分的数值等于几当1)Xρ(:的质量为则),函数为连续函数的密度上分布着质量，，设几何体一般ΩXΩΩ(地是二、三重积分.时，公式中的积分分别当ΩDΩ,另：2.质心yM.轴的轴和分别称为物体对xy静矩xoy设平面上nmmm,,,21),(11yx),(22yx),(nnyx处，则该质点系的质心的坐标为质量分别为xy11niiiniimxmyMMxMM11niiiniimymxM1,niiixm1,niiiym它们分别位于有n个质点，2.质心xMMxoy设平面上有n个质点，它们分别位于nmmm,,,21),(11yx),(22yx),(nnyx处，则该质点系的质心的坐标为质量分别为xy11niiiniimxm11niiiniimym由元素法设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，求平面薄片的质心坐标.ydMyMx(,)xydyDdM(,)Dxxyd于是xyMMyMM,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy由元素法oxyd),(yxDdyxxdMy),(DDyydyxxdMM),(于是MMxy2.质心(,)DxydM设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，求平面薄片的质心坐标.,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy由元素法oxyd),(yxDdyxxdMy),(DDyydyxxdMM),(2.质心当薄片是均匀的，,1DxdAx.1DydAyDdA其中设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，求平面薄片的质心坐标.重心称为形心.类似地，设有一物体，占有空间有界闭区域，在点),,(zyx处的体密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，此物体的质心坐标：,),,(1dvzyxxMx,),,(1dvzyxyMy,),,(1dvzyxzMzM其中2.质心平面薄片的质心的坐标为(,,).xyzdv,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyy.2222方，求球体的质心该点到原点的距离的平上任意点的密度等于已知球体Rzzyx例6OxyzR解如图，球体(,,)xyz密度xyzMd205)cos2(51sin2dRd22sinrr,15325R,),,(1dvzyxzMz222.xyz0,由对称性2221(),zxyzdvM222()xyzdv(,,)xyzdvdr020202cosR.2222方，求球体的质心该点到原点的距离的平上任意点的密度等于已知球体Rzzyx例6OxyzR解如图，球体.),,(222zyxzyx密度,0yx由对称性，,)(1222dvzyxzMzdvzyxdvzyxM)(),,(222,15325R,),,(1dvzyxzMz20d20dcos20Rdrrrrsincos22,386Rdvzyxz)(222又dd22sinrrdr020202cosR.2222方，求球体的质心该点到原点的距离的平上任意点的密度等于已知球体Rzzyx例6OxyzR解如图，球体.),,(222zyxzyx密度,0yx由对称性，,)(1222dvzyxzMzdvzyxdvzyxM)(),,(222,15325R,),,(1dvzyxzMz,386Rz).45,0,0(,R质心为故dvzyxz)(222又65833215RR5,4R3.转动惯量设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为oxy.........mi(xi,yi)m1mnyIxI21niiimy21niiimx,),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI薄片对于轴的转动惯量x薄片对于轴的转动惯量yoxyd),(yxD由元素法xdIniiixymI1221nyiiiImx2y(,),xyd设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为3.转动惯量:转动惯量,),,()(22dvzyxzyIx类似地，设有一物体，占有空间有界闭区域，在点),,(zyx处的体密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，此物体对x,y,z轴的yIxI21niiimy21niiimx设xoy平面上有n个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为3.转动惯量:转动惯量,),,()(22dvzyxzyIx,),,()(22dvzyxzxIy.),,()(22dvzyxyxIz3.转动惯量类似地，设有一物体，占有空间有界闭区域，在点),,(zyx处的体密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，此物体对x,y,z轴的例7设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图aboyx对y轴的转动惯量为,2dxdyxIDy