高数同济9.6多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.MMM§6.多元函数微分学的几何应用Mtt000(,,),xyz0;t000(,,)xxyyzz0.tt一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.M000(,,),MxxyyzzM000(,,),Mxyz0;tt0.ttt0xxx割线的方程为MM0yyy0zzz考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxxMMt，当时TT一、空间曲线的切线与法平面,,,xyzttt0,000((),(),()),ttt()()()xtytzt切线的方向向量割线的方向向量割线的极限位置曲线在M处的切线方程00()xxt切线的方向向量称为曲线的切向量.T过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt一、空间曲线的切线与法平面)),(),(),((000tttT;),,,(0000ttzyxM对应于设切向量P38法平面：ozyxMM00()yyt00.()zzt000(),(),()ttt法平面方程为：设空间曲线的方程:)1()()()(tztytx切线的方向向量例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，xyz，，xyz(0)x(0)y(0)z切线方程01x法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即.)()()(000000tzztyytxx0))(())(())((000000zztyytxxt()()()xtytztcos,tet2cossin,tt33,te1,2,3,12y2,3z012曲线在M处的切线方程00()xxt一、空间曲线的切线与法平面)),(),(),((000tttTozyxMM00()yyt00.()zzt情形1.空间曲线方程为(),()yxzxx设空间曲线的方程)1()()()(tztytxyφx(),xzψx()T00(1,(),()),xx,),,(000处在zyxM切线的方向向量可视为参数方程情形1.空间曲线方程为(),()yxzx,),,(000处在zyxM01xx00000()()()()()0.xxxyyxzz法平面方程特殊地：切线方程)(),(xψzxφx,yx一、空间曲线的切线与法平面()()()xtytzt00()yyx00,()zzxT00(1,(),()),xx切线的方向向量可视为参数方程情形1.空间曲线方程为,)()(xzxy,),,(000处在zyxM01xx特殊地：切线方程一、空间曲线的切线与法平面()()()xtytzt00()yyx00,()zzx情形2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),*T0FdzzdxFdyydx0GdzzdxGxGdyydx1,,dydzdxdxFx情形2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),Fx0FdzzdxFdyydx0GdzzdxGxGdyydx*1,,dydzTdxdxdydxdzdx*T0JyzyzFFGGzxzxFFGGyzyzFFGGxyxyFFGGyzyzFFGGzxzxFFGGyzyzFFGGxyxyFFGG1，，情形2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),*1,,dydzTdxdxdydxdzdx*T0JyzyzFFGGzxzxFFGGyzyzFFGGxyxyFFGGyzyzFFGGzxzxFFGGyzyzFFGGxyxyFFGG1，，*T,yzyzFFGG,zxzxFFGGxyxyFFGG//0J1,,ABCC*T,,CAB0J情形2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程00yzyzxxFFGG法平面方程.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy视x为自变量,方程组确定的隐函数为y=y(x),z=z(x),TGGFFGGFFGGFFdxdzdxdyTyxyxxzxzzyzy000,,//,,1*一、空间曲线的切线与法平面00zxzxyyFFGG00,xyxyzzFFGG例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解法一直接利用情形2的公式;解法二推导公式，dxdydxdz,zyxz11yz11zx,zyyx11yx将所给方程的两边对x求导并移项，得,)()(xzxy,0),,(0),,(zyxGzyxFdydx11yzydzdxdydxzxdzdx1*1,,dydzTdxdx由此得切向量T所求切线方程为11x法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx(1,2,1)dydx(1,2,1)dzdx例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.dxdydxdz,zxyz,xyyz*1,,dydzTdxdx0,1,(1,0,1),20y1,1z设曲面方程为0),,(zyxFT曲线在M处的切向量，在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx二、曲面的切平面与法线0,nTM((),(),())Fttt有.,,连续zyxFFF.)()()(000000tzztyytxx()()()xtytzt000{(),(),()},ttt000(,,),Mxyz0tt设曲面方程为0),,(zyxF在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx二、曲面的切平面与法线000(,,)xFxyz000(,,)yFxyznTM,0))(),(),((tttF有.,,连续zyxFFF即有dtd0((),(),())ttFttt000(,,)zFxyz0()t0()t0()t00,000(,,)xyz000000000((,,),(,,),(,,))xyzFxyzFxyzFxyz则,nT000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyztFxyztFxyzt设曲面方程为0),,(zyxF二、曲面的切平面与法线)},(),(),({000tttT曲线在M处的切向量为：n由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直M故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在M令同一平面上这个平面称为曲面在点M的切平面.切平面方程为0000(,,)()xFxyzxx0000(,,)()yFxyzyy0000(,,)()0zFxyzzz000000000((,,),(,,),(,,))xyzFxyzFxyzFxyz则,nT设曲面方程为0),,(zyxF二、曲面的切平面与法线)},(),(),({000tttT曲线在M处的切向量为：n曲面上通过M的任意一条曲线，在M都与同一向量n垂直,M故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在M令同一平面上，此平面为曲面在点M的切平面切平面方程为0000(,,)()xFxyzxx0000(,,)()yFxyzyy0000(,,)()0zFxyzzz的切线通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为0000(,,)xxxFxyz000000000((,,),(,,),(,,))xyzFxyzFxyzFxyz曲面在M处的法向量即法向量.切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx二、曲面的切平面与法线垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的n设曲面方程为0),,(zyxF通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.0000(,,)yyyFxyz0000(,,)zzzFxyz法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx二、曲面的切平面与法线设曲面方程为0),,(zyxF000000000((,,),(,,),(,,))xyzFxyzFxyzFxyz曲面在处的法向量即n特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz(,,)Fxyz令(,),fxyz曲面在M处的法向量为()n00(,),xfxy00(,),yfxy1曲面在M处的切平面方程为0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx),,(000zyxM法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx二、曲面的切平面与法线设曲面方程为0),,(zyxF000000000((,,),(,,),(,,))xyzFxyzFxyzFxyz曲面在M处的法向量即n特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz(,,)Fxyz令(,),fxyz曲面在M处的法向量为()n00(,),xfxy00(,),yfxy1曲面在M处的法线方程为000(,)xxxfxy000(,)yyyfxy0.1zz),,(000zyxM0zz切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.全微分的几何意义：(,),zfxyyyzxxzdz二、曲面的切平面与法线曲面在处的切平面方程为0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx),,(000zyxM000000(,)()(,)()xyfxyxxfxyyy0zzxzy0),(yxfzPQMNxyAB),,(000