高数同济六版课件D9_3全微分

目录上页下页返回结束第九章*二、全微分在近似计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义全微分目录上页下页返回结束一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成,)(oyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分,记作yBxAfzdd若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.AxBy目录上页下页返回结束)(oyBxAzyBxAfzdd(2)偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微),(lim00yyxxfyx当函数可微时:得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在函数可微即目录上页下页返回结束定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数yyzxxzzdxz同样可证,Byz证:因函数在点(x,y)可微,故,0y令)(xoxA必存在,且有得到对x的偏增量xxx因此有xzxx0limA目录上页下页返回结束反例:函数),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff但])0,0()0,0([yfxfzyx因此,函数在点(0,0)不可微.)(o注意:定理1的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数不一定可微!即:0,2222yxyxyx0,022yx目录上页下页返回结束]),([yyxxf定理2(充分条件)yzxz,证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx]),([yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxfyyxfy]),([若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yx目录上页下页返回结束zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数yx在点可微.0lim00yx,0lim00yx注意到,故有)(o目录上页下页返回结束xxu推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数),,(zyxfuud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分.zzuduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d目录上页下页返回结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:xz22e2)1,2(,e)1,2(yzxz例2.计算函数的全微分.解:udyyd)cos(221yz,eyxyyxxezyze目录上页下页返回结束可知当*二、全微分在近似计算中的应用1.近似计算由全微分定义)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)目录上页下页返回结束半径由20cm增大解:已知V,100,20hr)1(20π05.010020π22V即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则rhrπ2hr2π1,05.0hr)(π2003cm高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体hr目录上页下页返回结束例4.计算的近似值.解:设yxyxf),(,则),(yxfx取,2,1yx则)02.2,04.1(04.102.2f08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx目录上页下页返回结束分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(令z的绝对误差界约为yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δz的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(则目录上页下页返回结束yyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzzδδyxyδyx•乘除后的结果相对误差变大•很小的数不能做除数目录上页下页返回结束例5.利用公式1.030,01.03.8,01.05.12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：aSaSδδaCbδsin211800πδ,01.0δδ,30,3.8,5.12CbaCba故绝对误差约为又所以S的相对误差约为30sin3.85.1221bCaδsin21CCabδcos2194.25计算三角形面积.现测得bbSδCCSδ目录上页下页返回结束例6.在直流电路中,测得电压U=24V,解:由欧姆定律可知4624IUR()所以R的相对误差约为IURIURδδδ0.3+0.5R的绝对误差约为RRδ0.80.3;定律计算电阻为R时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为测得电流I=6A,相对误差为0.5,=0.032()=0.8求用欧姆目录上页下页返回结束内容小结1.微分定义:zzdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可微偏导数连续函数连续定义目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算•估计误差yyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δyyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(δ目录上页下页返回结束思考与练习1.P75题5；P129题1函数),(yxfz在),(00yx可微的充分条件是();),(),()(00连续在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量.2.选择题D目录上页下页返回结束答案:z03.0,101.0,2yyxx02.0zd03.0,101.0,2yyxx03.0也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03时△z=0.02,dz=0.033.P129题7目录上页下页返回结束zfyfxffzyyd)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(4.设解:xxxfcos3)0,0,(0cos3)0,0,0(xxxfx41利用轮换对称性,可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx注意:x,y,z具有轮换对称性目录上页下页返回结束答案:作业P741(3),(4);3;*6;*9;*115.已知第四节目录上页下页返回结束在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,),(yxf而证:1)因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0,0(f故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连证明函数xy所以目录上页下页返回结束),(yxfx,)0,0(),(时当yx,0)0,(xf;0)0,0(xf.0)0,0(yf同理221sinyx3222)(yxyx),(lim)0,0(),(yxfxxx极限不存在,),(yxfx在点(0,0)不连续;同理,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0||21sinx33||22xx)||21cosx2)3)题目目录上页下页返回结束,)()(22yx4)下面证明)0,0(),(在点yxf可微:yfxffyx)0,0()0,0(说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目