高数同济六版课件D9总复习

目录上页下页返回结束第九章总复习一、基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微分法目录上页下页返回结束1.区域•邻域:,),(0δPU),(0δPU•区域连通的开集•空间nR2.多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(PfunR一、基本概念目录上页下页返回结束APfPP)(lim0,0ε,0δ时，当δPP00有εAPf)(3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续目录上页下页返回结束1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号;几何意义•函数在一点偏导数存在函数在此点连续•混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法•求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义•求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)偏导数目录上页下页返回结束全微分1.微分定义:zzdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要关系:)(o函数可导函数可微偏导数连续函数连续定义目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算•估计误差yyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差yyxxzyxfyxfδ),(δ),(δyyxxzyxfyxfyxfyxfzδ),(),(δ),(),(δ目录上页下页返回结束多元复合函数求导的链式法则1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;122.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d目录上页下页返回结束隐函数求导1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.目录上页下页返回结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数;0),(00yxF则方程单值连续函数y=f(x),并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy②③满足条件导数目录上页下页返回结束定理2.若函数),,(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足;0),,(000zyxF,0),,(000zyxFz①在点满足:②③某一邻域内可唯一确目录上页下页返回结束定理3.,0),,,(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF③),(00yx在点的单值连续函数),,(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),,,(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv目录上页下页返回结束vuvuGGFFvuGFJ),(),(),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P86)xxGFyyGFxxGFyyGF目录上页下页返回结束1.空间曲线的切线与法平面切线方程000zzyyxx法平面方程))((00xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量几何应用)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0))((00zzt))(,)(,)((000tttT目录上页下页返回结束切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2)一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0zzT目录上页下页返回结束空间光滑曲面曲面在点法线方程),,(0000zyxFxxx),,(0000zyxFyyy),,(0000zyxFzzz)(),,()(),,(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程2.曲面的切平面与法线)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx目录上页下页返回结束空间光滑曲面)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况.法线的方向余弦2211cosyxff法向量)1,,(yxffn目录上页下页返回结束方向导数与梯度1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角),,为的方向导数为coscoscoszfyfxflf•二元函数在点),的方向导数为coscosyfxflf沿方向l(方向角为目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为zfyfxfff,,grad•二元函数在点处的梯度为)),(,),((yxfyxfffyxgrad3.关系方向导数存在偏导数存在••可微leflfgrad梯度在方向l上的投影.方向:f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值•梯度的特点目录上页下页返回结束极值与最值1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.,),(yxfz0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数目录上页下页返回结束说明:使偏导数都为0的点称为驻点.定理1(必要条件)函数偏导数,0),(,0),(0000yxfyxfyx但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在目录上页下页返回结束时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC且目录上页下页返回结束2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.),(yxfz0),(yx),(),(yxyxfF目录上页下页返回结束第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题