3.7曲率2011.11.24

第三章山东交通学院高等数学教研室第七节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径目录上页下页返回结束高等数学根据二阶导数的符号可以判定曲线的凹凸性，即弯曲方向，而有时也需要知道曲线弯曲的程度，即曲率。一、弧微分目录上页下页返回结束高等数学一、弧微分（即弧长的微分）设在曲线上取固定点在区间内具有连续导数，作为度量弧长的基点，任取一点规定(2)有向弧段的值(1)曲线的方向：沿轴增大的方向为曲线的正向；的绝对值表示弧段的长度，方向同曲线的正向，即方向与曲线正向一致时，相反时，目录上页下页返回结束高等数学弧长是的单调增加函数求的导数和微分，设为内两个邻近的点，在曲线上对应点弧的增量记目录上页下页返回结束高等数学则弧长微分公式为22ddsxyt2d1dsyx或22dddsxyxxdxdxoyxMydT几何意义dsMTdcos;dxsdsindys若曲线由参数方程表示:xxtyyt表示曲线在处切线段的长度弧微分公式目录上页下页返回结束高等数学二、曲率及其计算公式1.分析影响曲线弯曲程度的因素弧长相等，切线转角越大，曲线越弯曲转角相等，弧长越短，曲线越弯曲即与转角成正比即与弧长成反比所以用度的大小表示弧段的平均弯曲程度,这比值即单位弧段上切线转过的角叫做弧段的平均曲率。目录上页下页返回结束高等数学在光滑弧上任取点M作为度量弧长的基点，弧2.定义的长度为其切线转角为则称为的平均曲率。曲线在M点处的曲率目录上页下页返回结束高等数学2.计算公式设二阶可导，而求由定义先求由得目录上页下页返回结束高等数学说明(1)可先求(2)也可先求求再求常用再求(3)则曲率(4)如果目录上页下页返回结束高等数学例1求在任一点处的曲率。解直线不弯曲。例2求曲线在点处的曲率。解例3求曲线在点处的曲率。解法(1)不合适，用法(2)注曲线形状不变，旋转平移后曲率不变目录上页下页返回结束高等数学例4求在点处的曲率。解也可设求目录上页下页返回结束高等数学TyxoDR),(yxMC设M为曲线C上任一点,法线上，在凹的一侧取一点D，使KRDM1把以D为中心,R为半径的圆R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.(2)在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系相同的切线;相同的凹向;相同的曲率。注(1)11,.RKKR该点处曲率为K，在点M处曲线的曲线在叫做曲线在点M处的曲率圆.三、曲率圆与曲率半径目录上页下页返回结束高等数学例5求在点处的曲率及曲率半径。解目录上页下页返回结束高等数学1.弧长微分2d1dsyx或22dddsxy2.曲率公式ddKs3221yy3.曲率圆曲率半径1RK3221yy小结目录上页下页返回结束高等数学1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?解:21,yx32,yx则R3221yy32411x32x3222112xx利用baba2222.21为最小值显然xR11yox思考与练习