小学六年级数学竞赛讲座 第2讲 圆柱与圆锥

第二讲圆柱与圆锥模块一、圆柱的表面积如果圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的表面积为S圆柱=侧面积+2底面积=2πrh+2πr2.1．（1）圆柱的表面积由几部分组成？圆柱的侧面积展开之后是什么形状？然后计算这个侧面积呢？请画出圆柱的展开图，并总结圆柱表面积公式。（2）计算下面圆柱的表面积（单位：厘米）(π取3.14)解：（1）圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成，圆柱的侧面展开之后是一个长方形，长方形的长是2πr，高是h，所以S侧=2πrh，S圆柱=侧面积+2底面积=2πrh+2πr2.（2）S圆柱=2π×1×0.8+2π×12=11.304.模块二、圆柱圆锥体积如果圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积是V圆柱=πr2h；如果圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积是V圆锥=13πr2h；2．（1）一本纪念册的书页是圆形的，每一页的面积为460cm2，纪念册高3cm，求这本纪念册的体积是多少立方厘米（每一页书页的形状完全相同）；（2）如果圆柱的半径为r，高为h，你能猜出圆柱的体积公式吗？在结合下图，请证明你的猜想。（3）计算下面各圆柱的体积。（单位：厘米）(π取3.14)解：（1）V=460×3=1380cm3；（2）V圆柱=πr2h；（3）V1=π×42×4=200.96立方厘米；V2=π×4.52×6=381.51立方厘米；3．（1）根据已知体体积的结论，猜想圆锥体体积和圆锥的什么数据有关？（2）小明想知道圆锥的体积公式，他使用了实验法，他找了有关圆柱形模具，又找了有关圆锥形模具，这两个模具的底面积一样大，也一样高。他向圆锥形模具中倒满水，然后再将水倒进圆柱形模具，发现三次正好将圆柱形模具倒满，结合试验现象，猜想圆锥的体积公式。（3）小明测量出这这两个模具高都是10cm，底面直径都是8cm，那么这两个模具依次最多各装多少水。（4）计算下面两个圆锥的体积。（单位：厘米）(π取3.14)解：（1）圆锥体的体积与圆锥的底面半径和圆锥的高有关；（2）圆锥的体积等于底面与高都相等分圆柱的体积的三分之一；V圆锥=13πr2h；（3）V1=π×42×10=502.41立方厘米；V2=13π×42×10=167.47立方厘米；（4）V1=13π×22×6=25.12立方厘米；V2=13π×23()2×3=7.065立方厘米；例4．（1）有A，B两个容器，如图所示，先将A容器注满水，然后全部倒入B容器，求B容器的水深是厘米。（单位：厘米）解：VA=13π×62×10=120π立方厘米；120π÷(25π)=4.8厘米。（2）有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图所示），这个零件的体积为立方厘米。（π取3.14）解：V=π×32×20−2×13×π×32×4=489.84立方厘米。例5．如图所示的立体图形名叫做“圆台”，它的上底面和下底面是互相平行但大小不同的圆形，圆心连线垂直于底面，若已知这个圆台的上底面半径是2厘米，下底面半径是4厘米，高为3厘米，则这个圆台的体积是立方厘米。（π取3.14）解：将圆台的母线延长相交，则圆台的体积是大圆锥的体积减去小圆锥的体积。大圆锥的对面半径是4厘米，高是6厘米，小圆锥的底面半径是2厘米，高是3厘米，所以V圆台=13×π×42×6−13×π×22×3=87.92立方厘米。例6．图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每层卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸上得到以下资料：“两层300格，每格11.4cm×11cm”。我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为2.3cm和5.8cm，那么每层卫生纸的厚度为毫米（π取3）。（精确到0.01mm）解：设每层纸的厚度为x厘米，展开后的面积为11.4×11×300=37620平方厘米，体积是37620×2x立方厘米；卷起来之后的体积是π×(5.82−2.32)×11=935.55，所以37620×2x=935.55，解得x=0.01243厘米≈0.12毫米。随堂测试1．一个圆柱的底面直径为6厘米，高为8厘米，那么它的侧面积为平方厘米，表面积是平方厘米，体积是立方厘米。（π取3.14）解：S侧=2π×3×8=150.72平方厘米；S表面积=150.72+2π×32=207.24平方厘米；V=π×32×8=226.08立方厘米。2．一个圆锥的底面半径为6厘米高为8厘米，那么它的底面积是平方厘米，体积是立方厘米。解：S底=π×62=113.04平方厘米，V=13×π×62×8=301.44立方厘米。3．有一个圆柱，直径是4厘米，高为3厘米；有一个圆锥半径和高都比前面说的圆柱大1厘米，那么圆柱和圆锥的体积比是多少？解：V圆柱=π×22×3=12π，V圆锥=13×π×32×4=12π，所以V圆柱:V圆锥=1:1.4．一个铅笔头的形状如图所示，是由一个圆柱和一个圆锥组合而成的立体图形。如果圆柱的高和圆锥的高都是2厘米，铅笔头的体积是12.56立方厘米，请求出这个铅笔的底面积。（即求圆柱的底面积，图中数据单位为厘米，π取3.14）解：设圆柱的底面积为S，则V1+V2=2S+13×2S=12.56，解得S=4.71平方厘米5．一卷铜版纸是一个长50厘米的空心圆柱，内直径为6厘米，外直径为10厘米，圆柱这种铜版纸的厚度为0.4毫米，那么这卷铜版纸展开后长度有多少米？（π取3.14）解：V=π×(52−32)×50=800π立方厘米，设展开后铜版纸的长度为x厘米，则展开后的体积是50x×0.04=2x立方厘米，所以2x=800π，解得x=1256厘米=12.56米。