第五章 随机变量序列的极限.zh

第五章随机变量序列的极限一．大数定理二．中心极限定理一大数定律依概率收敛定义独立同分布情形下的大数定律依概率收敛定义：设12,,XX是一个随机变量序列，如果存在一个常数c，使得对任意一个0，总有lim1nnPXc，那么称序列,1,2,nXi依概率收敛于c，记作pnXc。（或lim0nnPXc）考察频率的稳定性：在n重贝努利试验中，设事件A发生了次，则，其中pPA.那么事件A发生的频率为，而且pnBnA,~nnAfAnAnApnnpA此结论可由下面的大数定律给出。独立同分布情形下的大数定律定理5.3设12,,XX,,nX独立同分布，且1EX，21DX，那么pniiXnX11因为EX，极限也可表为pXEX。（也即lim0nPX）例1频率的稳定性：在n次重复独立试验中，设随机变量1,iAiXAi事件在第次试验时发生0,事件在第次试验时不发生那么n次重复独立试验中A发生的频率为AnNfAn11niiXn。于是pANpn可表为11npiiXpEXn。频率的稳定性可用贝努利大数定律来表达：贝努利大数定律（定理5.4）设12,,XX,,nX独立同分布，且i(i=1,2,)X1,Bp，则pXp。更一般形式的大数定律介绍如下：切比雪夫大数定律：（定理5.2）设X1，X2，…是两两不相关的随机变量序列,如果存在常数c,使得D(X)≤c,则0Xn1)X(En1Xn1pn1i*in1iin1ii关于依概率收敛有下列性质：如果pnXa，pnYb，且函数,gxy在,ab处连续，那么,,pnngXYgab。2222(,)(,)(,)(,)ppgXYXYgababgXYXYgabab例如二中心极限定理独立同分布情形下的中心极限定理德莫弗-拉普拉斯中心极限定理定理5.5（独立同分布情形下的中心极限定理）设独立同分布随机变量序列12,,XX,,nX，且1EX，21DX0。则对任意,x，总有12limniinXnPxxn定理说明：当n充分大时（1）记12niiXnYn，则;（2）记1niiZX，则；或1,0~NY1,0~NZDZEZ21,~nnNXZnii(3)定理表明nNX2,~1,0~NnXniiXnX11记例3．设某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现抽取25个这类电子元件，求总寿命超过3000小时的概率。例4．（课本P119，例5.2）某人要测量甲,乙两地的距离,限于测量工具,他分成1200段来测量,每段上的测量误差服从R(-0.5,0.5),(单位：cm),且相互独立,试求总距离误差的绝对值超过20厘米的概率.例5．设有30个电子元件1230,,,DDD.它们如下使用：当1D损坏时立即使用2D，当2D损坏时立即起用3D，依次类推.用iD表示第i个元件的寿命，设（单位：小时）.记T为30个元件使用的总计时间。问T超过350小时的概率是多少？1.0~EDi推论：（德莫弗-拉普拉斯中心极限定理）设12,,XX,,nX是独立同分布随机变量序列，且都服从参数为p的0-1分布，则对任意,x，有1lim1niinXnpPxxnpp一般地有下列公式：设，则当n充分大时，11bnpanpPaYbnppnpppnBY,~1,0~1,1,~NpnpnpYpnpnpNY例6．（p121,例5.3)一本２０万字的长篇小说进行排版，假定每个字排错的概率为10-5，试求该小说出版后发现有６个以上错字的概率．假定各个字是否排错是相互独立的．例7.现有一大批种子，其中良种占16。今从中任选6000粒。试问在这些种子中良种所占的比例与16之差小于1%的概率是多少？例8．某计算机系统有120个终端，每个终端有5%的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的。试求在任何时刻有10个或更多个终端在使用的概率。例9．利用中心极限定理计算：当掷一枚均匀的铜币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%。