数值计算方法( 三次样条插值)

4.4三次样条插值前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f(x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。4.4.1分段插值2,)1,(],[,1],[)(],[,,...,1,0,,2010111jxujxuxxxjxuxuxxxfxxxnjyxjjjjjj取若，则外插也选若，即取，，若计算机上实现。上的现性插值函数表示用则判断）已知（分段线性插值)/())(()/())((,1111111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxyxxyyxuyuxux这是因为则线性插值函数为一般的，分段线性插值则如果做对于输入插值点做按输入算法：jiixumkniyxn1,2,...,j(2)u(1),...,2,1.2),...,1,0(,.1分段线性插值),()(......),()(),()()(,2)/())((11212101011110nnnjjjjjjxxxxIxxxxIxxxxIxIvuxxyyxuyv分段插值函数输出)/())((11111111jjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxI其中缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在。足够小才能较好的逼近}{max11jjjnjxxhh分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值2221112122111111131))(()())(()())(21()())(21()()()()()()(],[jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxuxuuBhxuxuuBhxuhxuuAhxuhxuuAfxfxyxyxxHxxxHermite令时插值三次分段三次Hermite插值算法。输出则计算如果做对于输入插值点计算插值）；（输入算法：vufBfBfAfAvBBAAxunjunjffxjjjjjjjj,.3;;,,,,...,2,1)2(;)1(.2,...,1,0,,.12112112121jjjjfBfByAyAv211211则例题222122222110)1)(2()2)(1()1)(32()1))(2(21()2)(12()2))(1(21(112,2,11)2(1)1(3)2(2)1(xxBxxBxxxxAxxxxAhxxHermiteffff则解：插值多项式。求满足条件的，，，，设例例题5983)1)(2()2)(1()1)(32(3)2)(12(2)(2322223xxxxxxxxxxxxH所以得4.4.2三次样条插值的三次样条函数。对应于划分为区间则称有连续的二阶导数）上在开区间（三次多项式；是不超过上在每个小区间）（满足条件如果函数：上给出一个划分，在区间，上的二次连续可微函数是区间设函数定义],[)(,)(,)3()(),...,2,1](,[)2();,...2,1,0()()(1)(...][],[)(1110baxsxsbaxsnjxxnjxfxsxsbxxxxababaxfjjjjnn三次样条插值1,...,2,1)0()0()0()0()0()0()1()2(,...,1,0)()(1.,,...2,1),,()()(],[)(1231njxsxsxsxsxsxsnnjxfxsdcbanjxxxdxcxbxaxsxsxxxsjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj条件：内节点处连续及光滑性）；（）（为：为待定常数，插值条件其中上有表达式在每个子区间设三次样条函数三次样条插值nnnjjjjmxfxsmxfxsnnnjdcba)()()()(244,,...2,1.,,000已知两端点的一阶导数第一类以下三类：条件称为边界条件，有给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为个未知系数，即对于待定系数三次样条插值)0()0()0()0()()(0)()()()(.0000000nnnnnnnxsxsxsxsxsxsMMMxfxsMxfxs第三类：周期边界条件时为自然边界条件当已知两端点二阶导数第二类：三次样条插值],[)(],[)(],[)(),...2,1,0()(!1111iiiiiiiiiiiixxxxxMMxsxxxsxxxsniMxs项式，故有上是一次多在是三次多项式，所以上在。因为令条插值函数用三弯矩阵构造三次样三次样条插值)1())(6261()()(!3)(!2))(()()(!3)(!2))(()(!3)()(!2)())(()()(111121121111311232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiixxMMxxyyxsxxMMxxMxxxsyyxxxxxxMMxxMxxxsyxxxsxxxsxxxsxsxsTaylor解得得令展示有于是由三次样条插值iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhxxhxxMMxxyyxxMMxxyyxsxxMMxxyyxsxx111111111111111111))(6162())(6261(21)()2())(6162()(],[记）即（）连续，所以（因为上讨论得同理在三次样条插值]),[],[(6)(2]),[],[(6)2()2)2(61],[)2(61],[1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMhxxfxxfhMMhMMhMMxxfhMMxxf也就是（即则上式为1,...2,1],,[62],,[62)(111111111111111nixxxfMMMxxxfMhhhMMhhhhhxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii即得得两边同除三次样条插值],,[62))(6261()(0)1()()()()(1001001010101000xxxfMMxxMMxxyyxsixfxsxfxsnn既有得式中令第一类边界条件：三次样条插值],,[621,...,2,1],,[62],,[62],,[62)2(1111111001011nnnnniiiiiiiinnnnnxxxfMMnixxxfMMMxxxfMMxxxfMMni）（即有得式中令同理三次样条插值2,...,3,2],,[62],,[62],,[62)()(,)()(11221111101210211''''00''0''niMxxxfMMxxxfMMMMxxxfMMMxfxsMxfxsnnnnnnnniiiiiiiinnn同理可得第二类边界条件三次样条插值1,...,3,2],,[62],,[62],,[2111111112101211nixxxfMMMxxxfMMMxxxfMMMnnnnnnniiiiiiiin三弯方程周期函数边界条件下的例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529。并计算函数三次样条)2.0(),(64879.0)60.0(,0)0(sxsss解做差商表(P111),由于是等距离节点,21,214,3,2,115.01111iiiiiiiiiiihhhhhhixxh由第二类边界条件得01234215.866670.520.55.142600.520.53.367980.520.51.39740120.26880MMMMM解方程得将Mi代入式4.4.14)得08418.0,43716.0,13031.1,77757.1,04462.243210MMMMM323232320.296721.022311,[0,0.15]0.719181.212420.028510.99858,[0.15,0.30]()0.770171.258310.042280.99720,[0.30,0.45]0.579271.000590.073701.01461[0.45,0.60]xxxxxxxsxxxxxxxxx0.20[0.15,0.30]由于故33(0.20)0.719180.21.212420.20.028510.20.998580.96154s4．5曲线拟合的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.4.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上的内积.其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:(),()[,],fxgxCabbaxxgxfxgfd)()()(),()(),(xgxf)(x,...2,1,0d)(2,0)(][)1(ixxxxbabai存在，）（零点；并且最多只能有有限个上，，在容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.内积的性质是等号成立。切当且仅当性质性质性质性质0,0),(4);,(),(),(3;),,(),(2);,(),(12121fffgfgfgffRgfgffggf函数的欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.(),()[,],fxgxCab),(2fff函数的欧几里得范数性质。性质性质；时有，当且仅当性质22222223;20001gfgfRfffff线性相关的函数系定义4.5.3设函数,如果存在一组不全为零的数使()[,],(0,1,2)kxCabknk0011()()()0nnxxx成立,则称函数系是线性相关的,否则称是线性无关的.0()nkx0()nkx线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式0()nkx00010101110101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,,,)0(