同态和同构

§8.2同态和同构定义1：设G,G’是两个群，G上:oG’上:⊙，f：G→G’如果对任意的a,b∈G,都有f（aob）=f(a)⊙f(b)则称f为G到G’的一个同态。进一步满同态：如果f是满射；单同态：如果f是单射；同构：如果f是一一对应的。例1，A={所有整数}，B={1，-1},A:+，B:×f1：a→1，f2：a→-1f3：奇a→-1,偶a→1定理1设f是G到G’的一个同态，则(1)f(e)=e’;(2)对任意a∈G,f(a-1)=f(a)-1;(3)kerf={a|a∈G,f(a)=e’}是G的子群，且f是单同态的充要条件是kerf={e};(4)f(G)={f(a)|a∈G}是G’的子群，且f是满同态的充要条件是f（G）=G’;(5)设H’是群G’的子群，则集合f-1(H’)={a∈G|f(a)∈H’}是G的子群。变换群前面的例子：普通数、普通加法、乘法或阶为1、2或3的抽象群，且是交换群下面研究：非交换群、群的元素不一定是数例2A={1，2}τ1：1→12→1τ2：1→22→2τ3：1→12→2τ4：1→22→1是A的所有变换对于给定集合A,S={τ，λ，μ，…},A的所有变换记号τ：a→a′=τ(a)=aτ规定，τ，λ的乘积τλ：a→(aτ)λ，则此乘法满足结合律τ(λμ)：a→(aτ)λμ=((aτ)λ)μS有单位元，恒等变换ε，ε：a→a例3计算例1中变换的乘积τ1τ2：1→22→2τ1τ2=τ2τ2τ4：1→12→1τ2τ4=τ1但τ不一定有逆元例4例1中τ1，用一个任意的τ左乘τ1，得到这就是说即τ1没有逆元1)2(2,1)1(1:1111,SS一般不是一个群(逆元不能保证)，但S的一个子集G呢？先看G作为一个群的必要条件定理2：G是由A的若干变换所成集合，且G中包含恒等变换ε若对于上述乘法来说G作为一个群，那么G只包含A的一一变换。证：所以τ是满射假定aτ=bτ则∴τ是单射111,,GGaaaaaAa111)(:,bababa11)()(定理3：一个集合A的所有的一一变换作成一个变换群G证明：G适合群定义的I,II,IV,V四个条件①τ1，τ2是一一变换，则τ1τ2也是②结合律③左单位元④τ是一个任意的一一变换，则有τ-1：（第一章）τ-1：假如所以τ-1τ：τ-1τ=ε1aaaa)(1aaa)(1定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法作成的一个群叫做A的变换群。此群的元素不是数定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，没有其它的变换群存在。例5A={平面上所有的点}，G={所有绕原点o的旋转}则G是一个变换群。证明：用τθ表示转θ角的旋转，有I.G是闭的Ⅱ.结合律IV.ε=τ0∈GV.τθ–1=τ-θ但G显然不包含A的所有的一一变换，G是较小的变换群。如：的一一变换都是绕原点逆时针旋转A,,,)0,1()0,0(:)1,0()0,0(:2:)0,1()0,0(:122121122121都不在G中。定理3所得的变换群是最大的变换群12211,,定理4任何一个群都同一个变换群同构间的一一映射。与是所以那么若告诉我们：但消去律：的满射。到是那么集合的变换作成一个。把所有的这种的一个变换可以得到，的每一个元。这样由的元的我们能够得到一个唯一的任意元的一个变换。因为对是则。任意取的元是是一个群，假定GGyxgygxyxxGGGxGgGgGGggxgGxcbaGGyxxcbaxxxx,GG:}.,,,{,:,,,,同构。变换群的一个与的一个变换群。这样是由定理一，，的恒等变换是：的象的单位元但是一个群。间的同构映射。所以与是所以即：再进一步看，GGGGGGggegeGGGGggygygxxyggexyyxyxyxxxy)()()()(习题课例1，举一个有两个元的群的例。例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限例3，设G为群，试证有(aba-1)n=abna-1例4，设G为群，，证明：ab≠ba例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有a3b3=(ab)3，a5b5=(ab)5例6，若群G的每一个元都适合方程x2=e,那么G是交换群例7，在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数例8，假定G是一个阶是偶数的有限群。则在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。,,GbaZn及54,,babaeaGba且例9，设G,*为群，a,b∈G,且a*b=b*a.证明：若|a|与|b|互素，则|a*b|=|a||b|例10，设G,*为交换群，a为G中阶最大的元，且|a|=n.证明：对于任意b∈G,|b||na