二维形式的柯西不等式大全

二维形式的柯西不等式有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)nnniaaaaaaaRinn≥.本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.一、复习引入联想由222abab≥两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什么不等关系:探究一大小则比较都是实数设22222)())((,,,,bdacdcbadcba二维形式的柯西不等式•定理1:(二维形式的柯西不等式).,)())((,,,,22222等号成立时当且仅当则都是实数若bcadbdacdcbadcba证明思路1：(代数证法)22222222222222)()()())((:2bdacbcadbdaccbdadbcadcba证明证明思路2：(构造向量法).,,,,),,(),,(2222两边平方后得证利用则设bdacdcbadcba什么时候“=”成立？定理2(柯西不等式的向量形式)若,是两个向量,则≥.当且仅当是零向量或存在实数k，使k时,等号成立.容易得出等式根据二维形式的柯西不,22222222dcbadcba|,|bdacbdac2.||||||||||||bdacdbca2222||||||||dcba2222dcba:,,,,,以下不等式成立对于任何实数所以dcba,||bdacdcba2222.||||bdacdcba2222定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.变变形……,可得下面两个不等式:⑴若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.⑵若,,,abcd都是实数,则2222()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.这两个结论也是非常有用的..,,23322441babababa证明为实数已知例.,,,杂的计算就可以避免繁式的一致性形式与柯西不等不等式的注意到这个但是如果它们然而再比较开上式的两边法展可以作乘虽然分析.,2332222244babbaababa有根据柯西不等式证明.,.,,,,工具数学研究的有力经典不等式是以所可以简化运算又启发证明思路既可以典不等式联系经不等式时在证明本例说明?,,,dcba中的式别对应柯西不等个数分中哪例41①运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.思考1:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！解答漂亮！定理1(二维形式的柯西不等式)若1122,,,xyxy都是实数,则2222211221212()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.111(,)Pxy222(,)PxyOxy|-|12xx12|-|yy这个图中有什么不等关系?（发现）定理3(二维形式的三角不等式)设1122,,,,xyxyR那么22222211221212()()()()xyxyxxyy≥.当且仅当1221xyxy时,等号成立.Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy随堂练习1.3546yxx求函数的最大值.22560.354634565.yyxxxx解：函数定义域为，，且222.236,211.xyxy已知求证222236,1422311.23211.yxyxyxy证明：因为2x所以因此.1,yb,,,,3.的最小值求且已知yxxaRbayx2min22222)()(.,)()()(,1,,,,:bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx时取等号即当且仅当解.,94,132.422并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx柯西不等式的应用举例:思考2.已知224936xy,求2xy的最大值.变式1.已知224936xy,求2xy的最大值.变式2.已知326xy,求22xy的最小值.变式3.已知326xy,求222xy的最小值.思考3.求函数51102yxx的最大值.课堂练习1:已知a,bR，a+b=1,12,,xxR求证：121212axbxbxaxxx≥分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.证明：∵1212axbxbxax=1221axbxaxbx由柯西不等式可知1212axbxbxax21212axxbxx≥=21212abxxxx.得证作业:课本37P习题3.1第1、3、7、8题