概率统计和随机过程课件3.3连续型随机变量的条件分布和随机变量之间的独立

连续型随机变量的条件分布和随机变量之间的独立1内容复习xXPxFX)(),(xF二维随机变量的边缘分布函数11()(,)(,)=,1,2,iiijijijjPXxFXxYPXxYyppi记为,2,1,)(1jppyYPjiijj记作离散型随机变量的边缘分布联合分布可以唯一确定边缘分布但边缘分布却不能唯一确定联合分布()(,)(,)xXFxFXfuvdvdu连续型随机变量边缘分布函数与边缘密度函数()(,)XxfxfxvdvF3二维随机变量(X,Y)的联合密度为yxeyxfyyxx,121),(2222212121212)())((2)()1(21221则称(X,Y)服从参数为1,12,2,22,的正态分布,记作(X,Y)~N(1,12;2,22；)其中1,20,-11正态分布的边缘分布仍是正态分布4()(,)Xfxfxydy2211222221212()()()()122(1)212121xxyyedy5222121122221[()]()2(1)221211221yuxxueedy同理2121()2112xue2222()22()(,)12Yyufyfxydxe即11~(,)XN即22~(,)YN6,2,1,,),(jipyYxXPijji设已知二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布若0)(1jijiipxXPp则称iijijippxXPyYxXP)(),(为在X=xi的条件下，Y的条件分布律,2,1j)(ijxXyYP记作二维离散型随机变量的条件分布律7二维连续型随机变量的条件分布函数和条件密度函数设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),联合密度函数为f(x,y)X和Y的边缘分布函数分别记为FX(x)，FY(y)；边缘密度函数分别记为fX(x)，fY(y)问题：首先寻找给定Y=y时，X的条件分布(|)(|)FxYyPXxYy8)(),()(yYyyPyYyyxXPyYyyxXPxy-yy)()(),(),(yyFyFyyxFyxFYY)()()()(),(),(yyFyyFyyxFyyxFYYy设0y9xy-yydyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYx连续连续,0)(),(yfyxfY)(def.yYxXP)()()()(),(),(lim0yyFyyFyyxFyyxFYYy10定义若f(x,y)在点(x,y)连续，fY(y)在点y处连续且fY(y)0,则称dyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYxduyufduyufx),(),(xYduyfyuf)(),(为Y=y的条件下X的条件分布函数，记作),(yxFYX)(),(yfyxfY称为Y=y的条件下X的条件概率密度函数，记作)(yxfYX11类似地,若f(x,y)在点(x,y)连续，fX(x)在点x处连续且fX(x)0,则称dxxdFxyxFX)(),()(),(xfdvvxfXydvvxfdvvxfy),(),(yXdvxfvxf)(),(为X=x的条件下Y的条件分布函数，记作),(xyFXY)(),(xfyxfX称为X=x的条件下Y的条件概率密度函数，记作)(xyfXY12注意：对于每一fY(y)0的y处，只要符合定义的条件，都能定义相应的函数.),(xyFXY)(xyfXY是y的函数,x是常数,对于每一fX(x)0的x处，只要符合定义的条件，都能定义相应的函数.0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXY),(yxFYX)(yxfYX是x的函数,y是常数,类似于乘法公式：13类似于全概率公式dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()(类似于Bayes公式)(),(yfyxfY)(yxfYX)()()(yfxfxyfYXXY)(),(xfyxfX)(xyfXY)()()(xfyfyxfXYYX14例1设其他,010,0,8),(yyxxyyxf求)(yxfYX)(,xyfXY解11其他,010,8)(1xxydyxfxX其他,010),1(42xxx1511其他,010,8)(0yxydxyfyY其他,010,43yy当0y1时，)(yxfYX)(),(yfyxfYy其他,00,22yxyx当0x1时，11x)(),(xfyxfX)(xyfXY其他,01,122yxxy16例2已知)(xyfXY其他,01,122yxxy其他,010),1(4)(2xxxxfX求2132),5.0(),1(XYPYPYXP17解11)()(),(xfxyfyxfXXY当fX(x)0时，即0x1时，其他,01,8yxxy当fX(x)=0时，f(x,y)=0故其他,010,0,8),(yyxxyyxf18x+y=1)1(YXP)5.0(YP110.5yyxydxdy115.0865110.521008yxydxdy161192132XYP110.5323221dyyfXY322125.012dyy322138dyy277（注意：积分区域）20§3.3随机变量的独立性——将事件的独立性推广到随机变量定义设(X,Y)为二维随机变量，若对于任何)()(),(yYPxXPyYxXP则称随机变量X和Y相互独立两个随机变量的相互独立性实数x,y都有21由定义可知二维随机变量(X,Y)相互独立)()(),(yFxFyxFYX)()(),(,dYcPbXaPdYcbXaPdcba)()(),(,cYPaXPcYaXPRca22二维离散型随机变量(X,Y)相互独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即jiijppp二维连续型随机变量(X,Y)相互独立.).()()(),(eayfxfyxfYX二维连续型随机变量(X,Y)相互独立)0)(()()(yfyxfxfYYXX)0)(()()(xfxyfyfXXYY二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布2302222212122222121212122)(22)(1)())((2)()1(212212121121yxyyxxeee证对任何x,y有21,yx取);,;,(~),(222211NYX相互独立命题24212212121121故0将0代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfYX25例3已知(X,Y)的联合概率密度为14,01,01(,)0,xyxyfxy其他(1)其他,010,0,8),(2yyxxyyxf(2)讨论X,Y是否独立？26解(1)由图可知边缘密度函数为11其他,0,10,2)(xxxfX其他,0,10,2)(yyyfY显然，)()(),(1yfxfyxfYX故X,Y相互独立27(2)由图可知边缘密度函数为其他,0,10),1(4)(2xxxxfX其他,0,10,4)(3yyyfY显然，)()(),(2yfxfyxfYX故X,Y不独立1128判断连续型二维随机变量相互独立的两个重要结论设f(x,y)是连续型二维随机变量(X,Y)的联合密度函数，r(x),g(y)为非负可积函数，且.).()()(),(eaygxryxf则(X,Y)相互独立且.).()()()(eadxxrxrxfX.).()()()(eadyygygyfY29利用此结果，不需计算即可得出(1)中的随机变量X与Y是相互独立的.再如，服从矩形域{(x,y)|axb,cyd}上的均匀分布的二维随机变量(X,Y),其他0,))((1),(dycbxacdabyxfX,Y是相互独立的.其他,0,1)(bxaabxfX其他,0,1)(dyccdyfY30若其他00,06),(32yxeyxfyx则X,Y是相互独立的.且其边缘分布为其他,00,2)(2xexfxX其他,00,3)(3yeyfyY31设X,Y为相互独立的随机变量，u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.例如，若X,Y为相互独立的随机变量则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2也相互独立；32随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量)()()(2211nnxXPxXPxXP),,,(2211nnxXxXxXP若则称随机变量X1,X2,,Xn相互独立33若两个随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Ypij0.250.25P(X=Y)=0.5,故不能说X=Y.注意34作业•习题三17,20,24,27,2935