概率统计和随机过程课件5.2随机变量的数学期望

第五章随机变量的数字特征1定义1设X为离散型随机变量，其概率分布为,2,1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记作E(X)1)(kkkpxXE数学期望的定义随机变量的数学期望2定义2设X为连续型随机变量,其密度函数为)(xf若广义积分dxxxf)(绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望记作E(X)dxxxfXE)()(随机变量的数学期望的本质——加权平均，它是一个数不再是随机变量3E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)CXEaCXaEniiiniii11)(当X,Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y).数学期望的性质4市场上对某种产品每年的需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？解其它,0,40002000,20001)(xxfX设每年生产y吨的利润为Y显然，2000y4000例85xyyxxyyxg,4,,3)(XyXyXXyyXgY,1)(3,,3)(dxxfxgYEX)()()(4000200020001320001)4(yydxydxyx)108140002(2000162yy6)140004(20001)(ydyYdE0令显然，020004)(22dyYEd故y=3500时，E(Y)最大，E(Y)=8250万元7例9假设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：12,51210,2010,1XXXT问平均直径为何值时，销售一个零件的平均利润最大？8解：)10()10()1(XPTP(20)(1012)(12)(10)PTPX)12(1)12()5(XPTP))12(1)(5())10()12((20)10()1()(TE5)10(21)12(259)12(25)10(21)(dTdE0令0212521212)12(2)10(22ee即2125222e2125ln2111可以验证，,0)(22dTEd零件的平均利润最大故2125ln2111时销售一个)(91.10mm10引例甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中的环数分别为：甲10,6,7,10,8,9,9,10,5,10乙8,7,9,10,9,8,7,9,8,9问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.4,乙=8.4§5.2方差有六个不同数据仅有四个不同数据11再比较稳定程度4.30)4.85()4.86()4.87()4.88()4.89(2)4.810(4222222甲：乙：44.6)4.87(2)4.88(3)4.89(4)4.810(2222乙比甲技术稳定12进一步比较平均偏离平均值的程度甲})4.85()4.86()4.87()4.88()4.89(2)4.810(4{101222222乙})4.87(2)4.88(3)4.89(4)4.810{(101222204.3644.0612)(kkkpXEx412)(kkkpXEx13定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差,记为D(X)D(X)=E((X-E(X))2)称)(XD为X的均方差.方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量E(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——是一个数。14,2,1,)(kpxXPkk若X为离散型变量，概率分布为12)()(kkkpXExXD若X为连续型，概率密度为f(x)dxxfXExXD)()()(2常用的计算方差的公式：)()()(22XEXEXD15222()(())[2()(())]DXEXEXEXXEXEX222222()2()()(())()(())()()EXEXEXEXEXEXEXEX证明：16D(C)=0D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)))())(((2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X,Y相互独立，则)()()(YDXDYXD方差的性质17若nXXX,,,21相互独立，baaan,,,,21为常数则niiiniiiXDabXaD121)(若X,Y相互独立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYE对任意常数C,D(X)E(X–C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)18性质1的证明：0)()(2CECECD性质2的证明：2)()()(baXEbaXEbaXD2))(())((bEbXEXaE22))((XEXaE)(2XDa192)()()(YXEYXEYXD22(())(())2[(())(())]EXEXEYEYEXEXYEY()()2[(())(())]DXDYEXEXYEY性质3的证明：当X,Y相互独立时，(())(())()()()EXEXYEYEXYEXEY注意到，)()()(YDXDYXD2022))(())((XECXEXECXE性质4的证明：22))(())((XECXEXE当C=E(X)时，显然等号成立；当CE(X)时，0))((2XEC)(2XDCXE2))(()(XECXD21例1设X~P(),求D(X).解0!)(kkkekXE11)!1(kkke)())1(()(2XEXXEXE!)1())1((0kekkXXEkk2222)!2(kkke方差的计算22)(XE)()()(22XEXEXD22例2设X~B(n,p)，求D(X).解一仿照上例求D(X).解二引入随机变量nXXX,,,21发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi,0,1nXXX,,,21相互独立，ni,,2,1)1()(ppXDiniiXX1故)1()()(1pnpXDXDnii23例3设X~N(,2),求D(X)解dxexXDx222)(221)()(222222222122xtttttedtteedt令22xedx24常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布pXPpXP1)0()1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(np(1-p)P(),2,1,0!)(kkekXPk25分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它,0,,1)(bxaabxf12)(2abE()其它,0,0,)(xexfx21N(,2)222)(21)(xexf226例4已知X,Y相互独立，且都服从N(0,0.5),求E(|X–Y|).解)5.0,0(~),5.0,0(~NYNX1)(,0)(YXDYXE故)1,0(~NYXdzezYXEz2221|||)(|222202dzezz27例5设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求E(X),D(X).令Xi表示击中目标i-1次后到第i次击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n1,2,1,)(1qpkpqkXPki1111)(kkkkikqpkpqXEpqp1)1(12nXXX,,,21相互独立，且niiXX1计算？解2811112)1()(kkkkikpqpqkkXEpqkkpqkk1)1(22pxdxdpqqxkk1022pxpqqx1)1(2322pp222112)(pppppXDi常用29pnXEXEnii1)()(故21)1()()(ppnXDXDnii30例6设0,0,0,ln)(,21,21~XXXXgYUX求E(Y),D(Y).解dxxfxgYEX)()()(21211)(dxxg2101lndxx2121ln21212ln2131dxxfxgYEX)()()(22121/21/222000ln1(ln)2lnxdxxxxdx2ln12ln2121ln121ln2122)()()(22YEYEYD22212ln212ln12ln21432ln212ln41232作业•习题五15，16，1733