单调性极值最值与导数

单调性、极值、最值与导数•1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________．单调递增单调递减常数函数•2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧______，右侧________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．都小f′(x)0f′(x)0•(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．都大f′(x)0f′(x)0•3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．②将函数y＝f(x)的各极值与_____________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？•【提示】不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？3)(xxf例如0)0(,3)(2fxxf从而可知但x=0不是函数的极值点xyo3xyoxdbfcaehgy极大值点，ceg极小值点dbf最大值点：a，最小值点：d如图，指出这个函数的导数符号、极值点和最值点。图1ox2xb4x1xa3x)(xfy5xy最大值是f(x3),图2函数y=f(x)在区间[a,b]上最小值是f(x4).函数f(x)的导函数的下列信息：当1x4时，当x4,或x1时，当x=4,或x=1时，试画出函数f(x)图象的大致形状。)(xf0)(xf0)(xf0)(xf41xyo)(xfy解：由题意可知当1x4时，f(x)为增函数当x4,或x1时，f(x)为减函数当x=4,或x=1时，两点为“临界点”其图象的大致形状如图。函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－1x≤0，解得0x≤1，所以函数的单调递减区间为(0，1]．当x＞0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是()A．(2，＋∞)B．(0，2)C．(2，＋∞)D．(0，2)【解析】f′(x)＝1－4x2，令f′(x)＜0，∴1－4x2＜0，x＞0，∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0，2)．【答案】B•函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．R【答案】A•函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D解:函数的定义域是(-1,+∞),.)1(211121)(xxxxf练习3、确定下面函数的单调区间：f(x)=-ln(1+x)+1由f’(x)=0,解得x=1.2x故f(x)的递增区间是(1,+∞);f(x)的递减区间是(-1,1).•二极值设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点•【解析】∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴令f′(x)=0，得x=－1列表∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D求函数f(x)=x3-12x+12的极值。解：=3x2-12=3(x-2)(x+2))(xf令=0)(xf得x=2,或x=-2下面列表：x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；)(xf)(xf因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4xyo1212)(3xxxf-22图象如右•函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()•A．1个B．2个C．3个D．4个•【解析】导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个.•【答案】A3．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值()A.12B．1C．不存在D．0【解析】f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x＞0，令f′(x)=0，得x=1.列表∴f(x)在x＝1时取极小值也是最小值f(1)＝12－ln1＝12.【答案】A•已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，求a的值。解：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.•当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.B．－C．－ln2D．ln2【答案】B已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间。解：(1)=3ax2+2bx-2)(xf0)1(f,0)2(f因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，所以xxxxf22131)(23所以2131ba解得=3ax2+2bx-2)(xf022302412baba即f(x)=ax3+bx2-2x(2)=x2+x-2)(xf所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2)和(1,+∞)f(x)的单调减区间为(-2,1)