2011-2018新课标高考立体几何分类汇编(理)

12011-2018新课标(理科)立体几何分类汇编一、选填题【2012新课标】（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C()D【解析】选B。该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，此几何体的体积为11633932V【2012新课标】（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）()A26()B36()C23()D22【解析】ABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRr，SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2623d此棱锥的体积为113262233436ABCVSd另：13236ABCVSR排除,,BCD【2013新课标1】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A、500π3cm3B、866π3cm312C、1372π3cm3D、2048π3cm3【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4RR，解得R=5，∴球的体积为3453=500π33cm，故选A.【2013新课标1】8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为()A、16+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222=168，故选A.2【2013新课标2】4.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解析】因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β。又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.【2013新课标2】7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(A)．【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像如图：【2014新课标1】12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A、6B、6C、4D、4【解析】几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，，AC==6，AD=4，显然AC最长。【2014新课标2】6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，故所求的比值为20π54π＝1027。【2014新课标2】11.直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.223【解析】如图，E为BC的中点．由于M，N分别是A1B1，A1C1的中点，故MN∥B1C1且MN＝12B1C1，故MN綊BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN綊BM，所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角．设BC＝1，则B1M＝12B1A1＝22，所以MB＝1＋12＝62＝NE，AN＝AE＝52，在△ANE中，根据余弦定理得cos∠ANE＝64＋54－542×62×52＝3010。【2015新课标1】6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（B）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【2015新课标1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20π，则r=（B）（A）1（B）2（C）4（D）8【2015新课标2】（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）（A）（B）（C）（D）【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．4【2015新课标2】（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB.64πC.144πD.256π【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．【2016新课标1】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）（A）17（B）18（C）20（D）28【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r解得2r，2271431784Srr。【2016新课标1】(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a平面ABCD=m，a平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（）(A)32(B)22(C)33(D)13【详细解答】令平面a与平面CB1D1重合，则m=B1D1，n=CD1故直线m、n所成角为60o，正弦值为32【2016新课标2】6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：rclh2r2π4πcr222234l21π2Srchcl表4π16π8π28π5【2016新课标2】14.，是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：①如果mn，m，n∥，那么。②如果m，n∥，那么mn．③如果a∥,m,那么m∥。④如果mn∥,∥,那么m与所成的角和n与所成的角相等．其中正确的命题有②③④.(填写所有正确命题的编号)【2016新课标3】9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（B）(A)18＋365(B)54＋185(C)90(D)81【2016新课标3】10.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA13，则V的最大值是（B）(A)4π(B)9π2(C)6π(D)32π3【2017新课标1】7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（B）A．10B．12C．14D．16【2017新课标1】16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为____415___。【2017新课标2】4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90B．63C．42D．36【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半。2211π310π3663π22VVV总上6【2017新课标2】10.已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．33【解析】M，N，P分别为AB，1BB，11BC中点，则1AB，1BC夹角为MN和NP夹角或其补角（异面线所成角为π02，）可知11522MNAB，11222NPBC，作BC中点Q，则可知PQM△为直角三角形．1PQ，12MQAC，ABC△中，2222cosACABBCABBCABC=4+1-2´2´1×-12æèçöø÷=7，7AC，则72MQ，则MQP△中，22112MPMQPQ，则PMN△中，222cos2MNNPPMPNMMHNP222521122210552222又异面线所成角为π02，，则余弦值为105。【2017新课标3】8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．3π4C．π２D．π4【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，则圆柱体体积23ππ4Vrh，故选B.【2017新课标3】16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；③直线AB与a所成角的最小值为45；④直线AB与a所成角的最大值为60．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）【解析】由题意知，abAC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC，2AB，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点r7保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆。以C为坐标原点，以为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线a的方向单位向量，，B点起始坐标为(0,1,0)，直线b的方向单位向量，，设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，其中为BC与CD的夹角，[0,2π)。那么'AB在运动过程中的向量，．设与所成夹角为π[0,]2，则．故ππ[,]42，所以③正确，④错误．设与所成夹角为π[0,]2，.当与夹角为60时，即π3，12sin2cos2cos2322．∵22cossin1，∴2|cos|2，∴21cos|cos|22．∵π[0,]2，∴π=3，此时AB与b夹角为60，∴②正确，①错误．【2018新课标1】7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（B）A．172B．5