江苏省高考数学-真题分类汇编-数列

五、数列（一）填空题1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22nn＋3个，即为262nn．2、（2009江苏卷14）设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban，若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q=.【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。na有连续四项在集合54,24,18,36,81，四项24,36,54,81成等比数列，公比为32q，6q=-93、（2010江苏卷8）函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y时，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa。4、（2011江苏卷13）设1271aaa，其中7531,,,aaaa成公比为q的等比数列，642,,aaa成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.【解析】由题意：231222112aaqaqaq，222221,12aqaaqa3223qa，而212221,1,,1,2aaaaa的最小值分别为1，2，3；3min3q.本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.5、（2012江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53.【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.6、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列}{na中，215a，376aa，则满足nnaaaaaa2121的最大正整数n的值为。答案：14．12（二）解答题1、（2008江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,,naaa是各项均不为零的等差数列（4n），且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n=4时，求1ad的数值；②求n的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,nbbb，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）①当n=4时,1234,,,aaaa中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去2a，则2314aaa，即2111(2)(3)adaad化简得140ad，得14ad若删去3a，则2214aaa，即2111()(3)adaad化简得10ad，得11ad综上，得14ad或11ad。②当n=5时,12345,,,,aaaaa中同样不可能删去1245,,,aaaa，否则出现连续三项。若删去3a，则1524aaaa，即1111(4)()(3)aadadad化简得230d，因为0d，所以3a不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,,,,,,nnnaaaaaa中，由于不能删去首项或末项，若删去2a，则必有132nnaaaa，这与0d矛盾；同样若删去1na也有132nnaaaa，这与0d矛盾；若删去32,,naa中任意一个，则必有121nnaaaa，这与0d矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列nbbb,......,21，其中111,,xyzbbb（01xyzn）为任意三项成等比数列，则2111yxzbbb，即2111()()()bydbxdbzd，化简得221()(2)yxzdxzybd（*）由10bd知，2yxz与2xzy同时为0或同时不为0当2yxz与2xzy同时为0时，有xyz与题设矛盾。故2yxz与2xzy同时不为0，所以由（*）得212byxzdxzy因为01xyzn，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而1bd为有理数。于是，对于任意的正整数)4(nn，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，12，122，……，1(1)2n满足要求。2、（2009江苏卷17）（本小题满分14分）设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,(2)（方法一）12mmmaaa=(27)(25)23mmm,设23mt，则12mmmaaa=(4)(2)86ttttt,所以t为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86mmmmmmmmaaaaaaaa为数列na中的项，故m+28a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm即经检验，符合题意的正整数只有2m。w.w.w.zxxk.c.o.m3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）对于正整数n≥2，用nT表示关于x的一元二次方程220xaxb有实数根的有序数组(,)ab的组数，其中,1,2,,abn（a和b可以相等）；对于随机选取的,1,2,,abn（a和b可以相等），记nP为关于x的一元二次方程220xaxb有实数根的概率。（1）求2nT和2nP；（2）求证：对任意正整数n≥2，有11nPn.【解析】[必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。w.w.w.zxxk.c.o.m4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，已知3122aaa，数列nS是公差为d的等差数列。（1）求数列na的通项公式（用dn,表示）；（2）设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,,，不等式knmcSSS都成立。求证：c的最大值为29。【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：0d，11(1)(1)nSSndand21323213233()aaaaSSSS，2221113[()](2),adaad化简，得：22111120,,aaddadad,22(1),nnSdndndSnd，当2n时，222221(1)(21)nnnaSSndndnd，适合1n情形。故所求2(21)nand（2）（方法一）222222222mnkSScSmdndckdmnck，222mnck恒成立。又nmknm且3，222222292()()92mnmnmnkk，故92c，即c的最大值为29。（方法二）由1ad及1(1)nSand，得0d，22nSnd。于是，对满足题设的knm,,，mn，有2222222()99()222mnkmnSSmndddkS。所以c的最大值max92c。另一方面，任取实数92a。设k为偶数，令331,122mknk，则knm,,符合条件，且22222222331()[(1)(1)](94)222mnSSmnddkkdk。于是，只要22942kak，即当229ka时，22122mnkSSdakaS。所以满足条件的92c，从而max92c,因此c的最大值为92。5、（2011江苏卷20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列1}{1aan的首项，前n项和为nS，已知对任意整数kM，当整数)(2,knknknSSSSkn时都成立（1）设52,2},1{aaM求的值；（2）设}{},4,3{naM求数列的通项公式【解析】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当1112,2()nnnnSSSS时，即111()()2nnnnSSSSS，112222,2,2,2(2)22.nnnaaaanaann又故当时所以5a的值为8。（2）由题设知，当{3,4},22nknknkkMnkSSS且时,S11122nknknkSSSS且，两式相减得11111112,nknknnknknnkaaaaaaa即所以当63368,,,,,nnnnnnaaaaa时成等差数列，且6226,,,nnnnaaaa也成等差数列从而当8n时，33662.nnnnnaaaaa（*）且662222,8,2nnnnnnnaaaanaaa所以当时，即223113.9,,,,nnnnnnnnaaaanaaaa于是当时成等差数列，从而3311nnnnaaaa，故由（*）式知11112,.nnnnnnnaaaaaaa即当9n时，设1.nndaa当28,68mm时，从而由（*）式知6122mmmaaa,故71132.mmmaaa从而76113122()()mmmmmmaaaaaa，于是12.mmaaddd因此，1nnaad对任意2n都成立，又由22({3,4})nknkkkSSSSk可知34()()2,92162nknnnkkSSSSSdSdS故且，解得42173,,.222dadada从而因此，数列{}na为等差数列，由112.ad知所以数列{}na的通项公式为21.nan6、（2012江苏卷20）（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}na和{}nb满足：122nnnnnabanabN，．（1）设11nnnbbnaN，，求证：数列2nnba是等差数列；（2）设12nnnbbnaN，，且{}na是等比数列，求1a和1b的值．【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数