三角形“四心”定义与性质

1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性质：1.外心到三顶点等距，即OCOBOA。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ABOFACOEBCOD,,.3.AOBCAOCBBOCA21,21,21。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．3.CECDBDBFAFAE,,；CDBFAE三角形的周长的一半。4.,2190ABICBCIA2190，CAIB2190。三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即ABCHACBHBCAH,,。2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。2四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。性质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GFGCGEGBGDGA2,2,23.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3CBAGCBAGyyyyxxxx.4.向量性质：（1）0GCGBGA；（2）)(31PCPBPAPG，5.ABCAGBCGABGCSSSS31。五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点O为ABC的垂心。结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足222222ABOCCAOBBCOA，则点O为ABC的垂心。结论3：若点G满足0GCGBGA，则点G为ABC的重心。结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足)(31OCOBOAOG，则点G为ABC的重心。结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足0ICcIBbIAa（其中cba,,为三角形的三边），则点I为△ABC的内心。结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(，则点O为ABC的外心。结论7：设,0，则向量)||||(ACACABABAP，则动点P的轨迹过ABC的内心。