高中数列的常见解法)

数列解题方法一、基础知识：数列：1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项．2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（…），简记作{an}．其中an是该数列的第n项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．4．数列的一般性质：①单调性；②周期性．5．数列的分类：①按项的数量分：有穷数列、无穷数列；②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式an=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式an=f（a1n）（n=2，3，…）（或an=f（a1n,a2n）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．8．数列的求和公式：设Sn表示数列{an}和前n项和，即Sn=1niia=a1+a2+…+an，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn=f（n）（n=1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式．9．通项公式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：11(1)(n2)nnnSnaSS等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义1nnaad1(0)nnaqqa分类递增数列：0d递减数列：0d常数数列：0d递增数列：1101001aqaq，或，递减数列：1101001aqaq，或，摆动数列：0q常数数列：1q通项1(1)()nmaandpnqanmd其中1,pdqad11nnmnmaaqaq（0q）前n项和211()(1)22nnnaanndSnapnqn其中1,22ddpqa11(1)(1)1(1)nnaqqSqnaq中项,,2abcbac成等差的充要条件:2,,abcbac成等比的必要不充分条件：主要性质等和性：等差数列na若mnpq则mnpqaaaa推论：若2mnp则2mnpaaa2nknknaaa12132nnnaaaaaa即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列na若mnpq则mnpqaaaa推论：若2mnp则2()mnpaaa2()nknknaaa12132nnnaaaaaa即：首尾颠倒相乘，则积相等其它1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。即：232,,,mmmmmsssss等差，公差为2md则有323()mmmsss2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）3、,nnab等差，则2na，21na，nkab，nnpaqb也等差。4、等差数列na的通项公式是n的一次函数，即：nadnc(0d)等差数列na的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数，即：2nSAnBn(0d)5、项数为奇数21n的等差数列有：1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：232,,,mmmmmsssss等比，公比为mq。2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）3、,nnab等比，则2na，21na，nka也等比。其中0k4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nnacq，其中1acq等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nnscqcq5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。性质1snsn奇偶nssaa奇偶中21(21)nnsna项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶，ssnd偶奇21()nnnsnaa6、,nmaman则0mnanmss则0()mnsnm,nmsmsn则()mnsmn证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：1()nnaad常数2、中项法：112(2)nnnaaan证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：1()nnaqa常数2、中项法：11(2,0)nnnnaaana2（）设元技巧三数等差：,,adaad四数等差：3,,,3adadadad三数等比：2,,,,aaaqaaqaqq或四数等比：23,,,aaqaqaq联系1、若数列na是等差数列，则数列naC是等比数列，公比为dC，其中C是常数，d是na的公差。2、若数列na是等比数列，且0na，则数列logana是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且0,1aa，q是na的公比。数列的项na与前n项和nS的关系：11(1)(2)nnnsnassn数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nnab叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）可裂项为：111111()nnnnaadaa，1111()nnnnaadaa等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（ⅰ）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（ⅰ）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。⑶已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。⑷若1()nnaafn求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。⑸已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。⑹已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。（8）遇到qaadaannnn1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；⑤11(1)!!(1)!nnnn；⑥2122(1)2(1)11nnnnnnnnn二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、nnaS求由（时，，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法如：满足……aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，，∴naaannn2121212215212211时，……12122得：nna∴ann21∴annnn141221()()［练习］数列满足，，求aSSaaannnnn1115344、叠乘法例如：数列中，，，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311·……·……，∴又，∴aann1335、等差型递推公式由，，求，用迭加法aafnaaannn110()naafaafaafnnn22321321时，…………两边相加，得：()()()aafffnn123()()()……∴……aafffnn023()()()［练习］数列，，，求aaaanannnnn1111326、等比型递推公式acadcdccdnn1010、为常数，，，可转化为等比数列，设axcaxnn1acacxnn11令，∴()cxdxdc11∴是首项为，为公比的等比数列adcadccn111∴·adcadccnn1111∴aadccdcnn1111［练习］数列满足，，求aaaaannnn119347、倒数法例如：，，求aaaaannnn11122由已知得：