2017年高考第二轮复习(理数)专题六-三角函数

12017年高考第二轮复习（理数）专题六三角函数1．(2014·大纲全国，3，易)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab1．C[考向3]∵b＝cos55°＝sin35°sin33°＝a，∴ba.又∵c＝tan35°＝sin35°cos35°sin35°＝cos55°＝b，∴cb.∴cba，故选C.2．(2013·广东，4，易)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.252．C[考向3]∵sin5π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα，∴cosα＝15.23．(2011·课标全国，5，易)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.23D.343．B[考向1]方法一(通法)：设角θ的终边上任一点为P(k，2k)，则r＝k2＋（2k）2＝5|k|.当k0时，r＝5k，∴sinθ＝2k5k＝255，cosθ＝k5k＝55.∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝552－2552＝－35.当k0时，r＝－5k，∴sinθ＝－2k5k＝－255，cosθ＝－k5k＝－55.∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－552－－2552＝－35.综上可得，cos2θ＝－35，故选B.方法二(优法)：因为该直线的斜率是k＝2＝tanθ，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.4．(2012·江西，4，易)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.1234．D[考向2]因为tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝2sin2θ＝4.所以sin2θ＝12.5．(2015·重庆，9，中)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1B．2C．3D．45．C[考向2]原式＝cosα－π2－π5sinα－π5＝cos－π2＋α＋π5sinα－π5＝cosπ2－α＋π5sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝tanα＋tanπ5tanα－tanπ5＝3tanπ5tanπ5＝3.思路点拨：先利用诱导公式将欲求值式子的分子、分母中的角转化为已知条件中的角，再利用同角三角函数基本式变形，最后代入求值即得．4高考对三角函数定义的考查多以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下，分值为5分．题目中含有“角的终边上某点的坐标”“角的终边与单位圆的交点坐标”等已知信息时，一般要利用三角函数的定义求解．1(1)(2016·山东泰安质检，6)若点A(m，n)是240°角的终边上的一点(与原点不重合)，那么m－3nm＋3n的值等于()A.12B．－12C．2D．－2(2)(2016·江西八校联考，15)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为1213，－513，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则3cos2α2－sinα2cosα2－32的值为________．【解析】(1)由三角函数的定义知tan240°＝nm，即nm＝3，于是m－3nm＋3n＝1－3×nm1＋3×nm＝1－3×31＋3×3＝－12.(2)由题意得|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，∴sin∠AOB＝sinπ3－α＝513.∴3cos2α2－sinα2cosα2－32＝3·1＋cosα2－sinα2－32＝－12sinα＋32·cosα＝sinα＋2π3＝sinπ－α＋2π3＝sinπ3－α＝513.【答案】(1)B(2)513解题(1)时要熟记正切函数的定义并注意对所求式子的恒等变形；5解题(2)时应先对所求式子进行化简，然后与已知条件中的角联系，借助三角函数定义求解．1.(2016·山东枣庄二模，4)若函数f(x)＝ax＋1－3(a0，a≠1)的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ的值等于()A．2B.12C．－2D．－121．A由于f(－1)＝－2，所以点P(－1，－2)，于是tanθ＝－2－1＝2.2．(2012·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．2．【解析】如图，由题意知BP︵＝OB＝2.∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－π2，∴DA＝APcos2－π2＝sin2，DP＝APsin2－π2＝－cos2.∴OC＝2－sin2，PC＝1－cos2.∴OP→＝(2－sin2，1－cos2)．【答案】(2－sin2，1－cos2),利用三角函数定义解题的基本类型及方法(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值，先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值，可直接根据三角线求6解．(3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值，先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题，先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，难度中低档．复习时，首先要熟记公式及其变形，其次要注意总结常见的题型分类，掌握其相应的解题方法及步骤．2(1)(2016·辽宁沈阳二模，7)已知sin3π2－θ－sinθ＝15，则cosθ＋π2cosθ的值为()A．－2425B.2425C．－1225D.1225(2)(2016·陕西宝鸡质检，8)若tanα＝2，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝()A．2B.12C．－12D．1(3)(2013·课标Ⅱ，15)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.【解析】(1)由已知得－cosθ－sinθ＝15，即sinθ＋cosθ＝－15，两边平方得1＋2sinθcosθ＝125，于是sinθcosθ＝－1225.故cosθ＋π2cosθ＝－sinθcosθ＝1225.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.7(3)由tanθ＋π4＝12，得1＋tanθ1－tanθ＝12，解得tanθ＝－13，则cosθ＝－3sinθ.由sin2θ＋cos2θ＝1，得10sin2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sinθ＝1010，cosθ＝－31010，∴sinθ＋cosθ＝－105.【答案】(1)D(2)D(3)－1051.(2016·山师附中三模，4)若z＝sinθ－35＋icosθ－45是纯虚数，则tan(θ－π)的值为()A.34B.43C．－34D．－431．C∵z＝sinθ－35＋icosθ－45是纯虚数，∴sinθ－35＝0，且cosθ－45≠0，即sinθ＝35且cosθ≠45，即cosθ＝－45，则tanθ＝35－45＝－34，则tan(θ－π)＝tanθ＝－34.2．(2015·山东威海一模，11)已知α∈(π，2π)，且cosα＝－55，则tan2α＝________.2．【解析】因为α∈(π，2π)，cosα＝－55，所以sinα＝－1－cos2α＝－255，tanα＝sinαcosα＝2，故tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.【答案】－43,8利用同角三角函数基本关系式解题的类型及方法(1)已知sinα(或cosα)的值，求cosα(或sinα)、tanα的值时，先利用平方关系sin2α＋cos2α＝1，再利用商数关系tanα＝sinαcosα，其中利用平方关系进行开方时要注意根据角所在的象限选择恰当的符号．(2)已知tanα的值，求sinα和cosα的值时，通常利用两个基本关系式建立方程组求解．(3)已知tanθ＝t，求形如齐次式asinθ＋bcosθcsinθ＋dcosθ①，asin2θ＋bcos2θ＋esinθcosθcsin2θ＋dcos2θ＋fsinθcosθ②和asin2θ＋bcos2θ③的值时，可以令①中的分子、分母同时除以cosθ，得到atanθ＋bctanθ＋d＝at＋bct＋d；令②中的分子、分母同时除以cos2θ，得到atan2θ＋b＋etanθctan2θ＋d＋ftanθ＝at2＋b＋etct2＋d＋ft；对③，可以先把分母看作1＝sin2θ＋cos2θ，得到asin2θ＋bcos2θsin2θ＋cos2θ，然后再给此式中的分子、分母同时除以cos2θ，得到atan2θ＋btan2θ＋1＝at2＋bt2＋1.(4)sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ三个式子中，知其任何一个的值，可求另外两个的值．诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，难度较小，为中低档题目，以客观题的形式出现，分值为5分．3(1)(2014·安徽，6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()9A.12B.32C．0D．－12(2)(2016·河南平顶山模拟，13)若sinα＋7π6＝13，则cosα＋5π3＝________.【解析】(1)由已知，得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sinπ6＋sin－π6＋sinπ6＝0＋12＋－12＋12＝12.(2)方法一：由sinα＋7π6＝13得sinα＋π6＝－13.而cosα＋5π3＝－cosα＋2π3＝－cosα＋π6＋π2＝sinα＋π6＝－13.方法二：cosα＋5π3＝cosα＋5π3－2π＝cosα－π3＝cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝－sin7π6＋α＝－13.【答案】(1)A(2)－13,应用诱导公式的思路与技巧(1)使用诱导公式的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向①切化弦，统一名．②用诱导公式，统一角．10③用因式分解将式子变形，化为最简．]1．(2016·福建漳州二模，3)已知sinπ2－α＝35，则cos(π－2α)＝()A.725B．－725C.925D．－9251．A[考向3]∵sin