函数项级数一致收敛性及其应用

函数项级数的一致收敛性及其应用摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数UniformlyConvergenceSeriesofFunctionsandApplicationAbstract:Withthedevelopmentofscienceandtechnology,elementaryfunctionhasfailedtomeettheneedsofthepeople.SincetheCauchygivesthedefinitionofinfiniteseries,thetheoryofserieshasbeendevelopedrapidlywiththein-depthstudyofit.Withtheinfiniteseries,seriesoffunctionscameintobeing.Seriesoffunctionshasawideapplicationinmathematicsandengineeringscience.Theuniformlyconvergenceofseriesoffunctionsplaysanimportantroleinapplication.Duringtheapplication,theuniformlyconvergenceofseriesoffunctionanditsjudgmentbecomeimportant.Thisarticledescribestheconceptoftheuniformlyconvergenceofseriesoffunctions,tosumupthejudgmentoftheuniformlyconvergenceofseriesoffunctions.Wegivemanyexamplesandtaketheseriesofpowerstoillustratetheapplicationincalculationofseriesoffunctions.Keywords:seriesoffunctions;uniformlyconvergence;seriesofpowers目录1引言……………………………………………………………………………………………………12函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………………22.1函数列及其一致收敛性………………………………………………………………………22.2函数项级数及其一致收敛性…………………………………………………………………32.3一致收敛函数项级数的性质…………………………………………………………………43函数项级数的一致收敛性判别法……………………………………………………………………53.1一般判别法……………………………………………………………………………………53.2魏尔斯特拉斯判别法…………………………………………………………………………73.3阿贝尔判别法与狄利克雷判别法……………………………………………………………73.3.1阿贝尔判别法………………………………………………………………………83.3.2狄利克雷判别法……………………………………………………………………83.4类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法……………………………………103.4.1比式判别法…………………………………………………………………………103.4.2根式判别法…………………………………………………………………………113.4.3对数判别法…………………………………………………………………………123.5Dini判别法…………………………………………………………………………………134幂级数的应用………………………………………………………………………………………144.1幂级数的定义………………………………………………………………………………144.2幂级数的应用………………………………………………………………………………144.2.1幂级数在近似计算中的应用………………………………………………………144.2.2幂级数在计算积分中的应用………………………………………………………154.2.3幂级数在求极限中的应用…………………………………………………………154.2.4幂级数在数列求和中的应用………………………………………………………164.2.5幂级数在欧拉公式推导中的应用…………………………………………………164.2.6幂级数在求导中的应用……………………………………………………………174.2.7幂级数在概率组合中的应用………………………………………………………174.2.8幂级数在证明不等式中的应用……………………………………………………184.2.9用幂级数形式表示某些非初等函数………………………………………………185总结……………………………………………………………………………………………………19致谢………………………………………………………………………………………………………20参考文献…………………………………………………………………………………………………2111引言随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响(朱正佑,2001)[1].函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明.22函数项级数的相关概念介绍2.1函数列及其一致收敛性定义1设,,,21nfff，是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，也可简单的写作：}{nf或nf，,2,1n.设Ex0，以0x代入}{nf可得数列),(),(),(00201xfxfxfn，若数列)}({0xfn收敛，则称函数列}{nf在点0x收敛，0x称为函数列}{nf的收敛点.若数列)}({0xfn发散，则称函数列}{nf在点0x发散.若函数列}{nf在数集ED上每一点都收敛，则称}{nf在数集D上收敛.这时D上每一点x，都有数列)}({xfn的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列}{nf的极限函数.若极限函数记作f，则有)()(limxfxfnn，Dx或)()(xfxfn)(n，Dx.使函数列}{nf收敛的全体收敛点集合，称为函数列}{nf的收敛域.定义2设函数列}{nf与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当Nn时，对一切Dx，都有)()(xfxfn，则称函数列}{nf在D上一致收敛于f，记作)()(xfxfn)(n,Dx.注：本文用“”表示一致收敛.由定义看到，如果函数列}{nf在D上一致收敛，那么对于所给的，不管D上哪一点x，总存在公共的)(N（即N的选取仅与有关，与x的取值无关），只要Nn，都有)()(xfxfn.3由此可以看到函数列}{nf在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上每一点都收敛的函数列}{nf，在D上不一定一致收敛.2.2函数项级数及其一致收敛性定义3设{)(xun}是定义在数集E上的一个函数列，表达式)(1xu+)(2xu+…+)(xun+…，Ex（1）称为定义在E上的函数项级数，简记为1)(nnxu或)(xun。称nkknxuxS1)()(，Ex，,2,1n为函数项级数的部分和函数列。若Ex0，数项级数)()()(00201xuxuxun（2）收敛，即部分和nkknxuxS100)()(当n时极限存在，则称级数（1）在点0x收敛，0x称为级数（1）的收敛点．若级数（2）发散，则称级数（1）在点0x发散.若级数（1）在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数（1）在D上收敛．若D为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称D为级数（1）的收敛域．级数（1）在D上每一点x与其所对应的数项级数（2）的和)(xS构成一个定义在D上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作)()()()(21xSxuxuxun，Dx,即)()(limxSxSnn，Dx．也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性．定义4设{)(xSn}是函数项级数)(xun的部分和函数列．若{)(xSn}在数集D上一致收敛于函数)(xS,则称函数项级数)(xun在D上一致收敛于函数)(xS，或称)(xun在D上一致收敛(华东师范大学数学系，2001)[2].42.3一致收敛函数项级数的性质定理1（连续性）若函数项级数)(xun在区间ba,上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在ba,上也连续.它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即))((lim))(lim(00xuxunxxnxx.定理2(逐项求积)若函数项级数)(xun在ba,上一致收敛，且每一项)(xun都连续，则dxxudxxubanban)()(.此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序.定理3(逐项求导)若函数项级数)(xun在ba,上每一项都有连续的导函数，[,]xab为)(xun的收敛点，且)(xun在ba,上一致收敛，则))(())((xudxdxudxdnn.此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀，2005)[3].53函数项级数的一致收敛性判别法3.1一般方法判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.定义4的条件太强，函数项级数固定一点Dx,)(xun实际上是一个特殊数列.受此启发,利用数列的性质得到以下定理：定理4（一致收敛的柯西准则）函数项级数)(xun在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得当Nn时，对一切Dx和一切正整数p，都有)()(xSxSnpn或)()()(21xuxuxupnnn.此定理中当1p时，得到函数项级数一致收敛的必要条件.推论函数项级数)(xun在数集D上一致收敛的必要条件为：函数列)(xun在D上一致收敛于零.设函数项级数在D上的和函数为)(xS，称)()()(xSxSxrnn为函数项级数)(xun