反比例函数经典题

反比例函数经典题九年级数学一.教学内容：反比例函数教学目标：1.理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2.初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。二.重点、难点：重点：1..能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质4.反比例函数的应用。三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数.从y=中可知，x作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数k的取值范围图象性质①的取值范围是，的取值范围是②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小①的取值范围是，的取值范围是②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大0kxky0k0k注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。5、反比例函数系数的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作轴，轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为∵∴∴，即过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为注意：①若已知矩形的面积为，应根据双曲线的位置确定k值的符号。②在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2。xyPNPMSNMNMxkyyxkNMSxykk四、典例解析考点一、反比例函数的定义例1、用电器的输出功率P与通过的电流I，用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（）A.P为定值，I与R成反比例B.P为定值，与R成反比例C.P为定值，I与R成正比例D.P为定值，与R成正比例本题的答案是：B例2、为何值时，是反比例函数？解：常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式写成形式；2）忽略了这个条件。522kxkyk15k02k2由2k2k得。x2k，y2k2k5k2是反比例函数时当xky1kxy02k考点二：反比例函数的图象例3、若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（）A.B.C.D.321,1,,2,,3yCyByAxy1321,,yyy321yyy321yyy231yyy321yyy例4、观察下面函数和的图像，请大家对比着探索它们的异同点相同点：a、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交c、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当k大于0时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当k小于0时，两条曲线分别位于第二、四象限。xy2xy2例5、已知反比例函数，分别根据以下条件求出的取值范围。（1）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内，随的增大而增大。xky4kyx例6、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q，过点P分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为。（1）与有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合吗？1S2S2S1S5、解：（1）∵双曲线在第一、三象限内，∴（2）∵在每一个象限内随的增大而增大∴04k4kyx04k4k6、解：（1）①P、Q两点在同一条曲线上：设P（），过P点分别作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为，则因为（）在反比例函数的图像上，所以即所以同理可知所以=②P、Q分别在不同的曲线上：解法同1同理可知=因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P、Q分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积、都有=（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转180度后，能与原来的图像重合.因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。11,yx1S111yxS11,yxxky11xkykyx11kS1kS21S2S1S2S例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系．（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？例9、反比例函数的图象上有一点P（m，n）其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，求该反比例函数的解析式.032ktt137、分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度×录入时间解：（1）24000÷120=200（分钟）所以他需要用200分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是：（3）3h=180mintv240003.133340018024000v由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。9、分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k的方程.解：∵m，n是关于t的方程的两根∴m+n=3，mn=k，又PO=∴∴∴9－2k=13.∴k=－2当k=－2时，△=9+8＞0，∴k=－2符合条件，∴反比例函数的解析式为：032ktt131322nm1322mnnmx2y考点六：反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。（1）根据图象，写出B点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。考点六：反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。（1）根据图象，写出B点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。解：（1）由图象可得B（4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式得∴反比例函数的关系式为xmy4m312mxy12由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（－2，0）把这两点代入一次函数关系式+b得：解得：∴一次函数的关系式为：bkb201211kb121xy（3）由图象可知，当时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值4x0x6或例11、如图，平行于直线的直线不经过第四象限，且与函数的图象交于点A，过点A作AB⊥轴于点B，AC⊥轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线的解析式。xyl03xxyxyl例11、如图，平行于直线的直线不经过第四象限，且与函数的图象交于点A，过点A作AB⊥轴于点B，AC⊥轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线的解析式。xyl03xxyxyl解：∵点A在函数的图象上，03xxy∴设A点的横坐标为，由点A的纵坐标为，即A点的坐标为aa3aa3,0a∵AB⊥轴于点B，AC⊥轴于点C，∠BOC=90°yx∴四边形ABOC是矩形，∵四边形ABOC的周长是8，∴即832aa0342aa解得3,121aa当133,331a，aa，a时当时∴A点坐标为（1，3）或（3，1）（由题意可知）∴A点坐标为（1，3）xy设直线的解析式为把A点代入得lbxybxy3=1+bb=2∴直线的解析式为2xy一、选择题1.下列不是反比例函数图象的特点的是（）A.图象是由两部分构成B.图象与坐标轴无交点C.图象要么总向右上方，要么总向右下方D.图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内2.若点（3，6）在反比例函数（k≠0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（）A.（，6）B.（2，9）C.（2，）D.（3，）xky963*3.当时，下列图象中表示函数的图象的是（）0xxy14.如果x与y满足，则y是x的（）01xyA.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数5.已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n），则n等于（）A.3B.4C.6D.126.已知某县的粮食产量为a（a为常数）吨，设该县平均每人粮食产量为y吨，人口数为x，则y与x之间的函数关系的图象可能是下图中的（）7.若ab＜0，则函数与在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（）axyxby8、下列函数中，是反比例函数的是（）yxA.B.C.D.yx2yx12yx11yx129、函数y1=kx和的图象如图所示，自变量x的取值范围相同的是（）xky210、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。11、反比例函数（k≠0）的图象的两个分支分别位于（）象限。A.一、二B.一、三C.二、四D.一、四xky212、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成（）关系。A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数13、函数与的图象可能是（）ykxbykxkb()014、如图，是三个反比例函数在x轴上的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（）xkyxkyxky321,,A.k1k2k3B.k1k3k2C.k2k3k1D.k3k2k115、已知双曲线上有一点P（m，n），且m、n是关于t的一元二次方程t2－3t+k=0的两根，P点到原点的距离为，则双曲线的表达式为（）A.B.C.D.16、如图，正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为（）A.1B.C.2D.xy117、如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为A.2B.C.D.二、填空题1.反比例函数（k≠0）的图象是__________，当k＞0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每一个象限内，y随x的增大而__________；当k＜0时，图象的两个分支分别在第__________、__________象限内，在每一个象限内，y随x的增大而__________；xky*2.已知函数，当x＜0时，y_______0，此时，其图象的相应部分在第_______象限；xy41*3.当时，双曲线y=过点（，2）；_____kxk334.已知（k≠0）的图象的一部分如图，则；xky0______k5.如图，若反比例函数的图象过点A，则该函数的解析式为__________；xky*6.若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是；xy1*7、已知y与（2x+1）成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________。8、